Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
Как отмечалось, цена облигации может быть рассчитана по формуле:
P=ICF1(I + г)"'.
Определим первую производную цены по изменению процентной ставки:
dP/dr= -2)' Cf)(I + г)-'-]. (9.12)
Относительное изменение цены определится как dP/P, а относительное изменение процентной ставки — dr/(\+r). Коэффициент эластичности определится выражением
(dP/P)/\dr/(\ + г)1 = (dP/dr)/\(P/(\ + г)] = -2'С/) (1 + гГ/Р =
= -2'С/)(1 + /Г'/? CT)(I + г)-/ = _д (9ЛЗ)
В результате получили формулу эластичности изменения цены облигации в зависимости от изменения величины (1 + г). Как видно из (9.13), этот показатель эластичности есть дюрация со знаком минус (см. (9.9)).
Если обе части в формуле (9.10) разделим на Р, то получим 1 = = [2Cf)(I + г)-'\/Р.
Обозначим [CF1 (1 + г) '/P] через Vn где V1 — доля цены, которую "обеспечивает" платеж года
Теперь можем записать:
(dP/P)/[dr/(\ + г)} = - J/ • Vn (9.14)
где YV1= 1.
91
Дюрация бескупонной облигации равна времени до погашения. Дю-рация используется для управления риском, связанным с изменениями процентных ставок.
9.5. Дюрация и изменение курса облигаций
Учитывая, что дюрация может быть рассмотрена как эластичность изменения цены облигации от изменения величины (1 + процентная ставка), можно увязать через дюрацию динамику курса и процентной ставки.
В общем виде можно записать:
AP/P = -D [Ar/(l + г)], (9.15)
где AP — изменение цены облигации; P — начальная цена; Ar — изменение процентной ставки; D — дюрация.
ПРИМЕР. Начальная цена облигации — 100 млн руб., доходность — 12%. Дюрация составляет 5 лет. Доходность увеличится до 13%. Как изменится цена?
Решение:
Аг/(1 + /•) = 0,01/1,12 = 0,0089286;
АР/P = -5 - 0,0089286 = -0,0446, или -4,46%.
Цена облигации снизится до 95 535 700 руб.
Для расчетов может быть использован показатель модифицированной дюрации:
D1n = /)/(1 + г) или Dm = /)/(1 + г/т). (9.16)
Модифицированная дюрация — эластичность изменения цены в результате изменения процентной ставки (а не величины 1 + г). С использованием данного показателя темп изменения цены определится как
AP/P~-Dm Ar. (9.17)
9.6. Выпуклость
Выпуклость облигации характеризует разность между фактической ценой облигации и ценой, прогнозируемой на основе модифицированной дюрации (рис. 9.2). Среди прочего этот показатель свидетельствует о том, что прирост курса облигации, связанный со снижением процентной ставки, больше, чем падение курса при аналогичном росте ставки.
Степень выпуклости кривой зависит от ряда факторов: величины купонного дохода, срока облигации, текущего рыночного курса.
92
ПРИМЕР. Номинальная цена облигации равна 1000 долл. Доходность — 30%. Срок — 1 год.
Начальная цена P = 1000/1,3 = 769,2 долл. Как изменится цена?
Решение. Рассмотрим два варианта: а) ставки возросли до 35%; б) ставки снизились до 25%. Следовательно (см. рис. 9.2):
P- AP' = 1000/1,35 = 740,74 долл.;
P+ AP= 1000/1,25 = 800 долл.;
-АР' = 740,74 - 769,2 = -28,46 долл.;
AP = 800 - 769,2 = 30,8 долл.
Выпуклость и дюрация. При использовании модифицированной дюрации для определения изменения курса облигации предполагается, что между этим изменением и изменением доходности существует линейная зависимость. Но в действительности зависимость нелинейная.
Рассмотрим график (рис. 9.3).
Доходность
Рис. 9.2 Рис. 9.3
Величина погрешности тем меньше, чем меньше изменение доходности. На графике AP — прирост фактический; дР— расчетный прирост, определяемый через дюрацию; AP' — фактическое снижение; АР" — снижение, определяемое через дюрацию.
Для уточнения расчетов и снижения ошибки, связанной с предположением линейности рассматриваемой взаимосвязи, можно произвести следующие расчеты.
Предположим, что цена облигации есть функция от величины процентной ставки: P = f(r). Известно значение функции в точке г, нужно найти значение в точке (г + Ar). Используем разложение функции в ряд Тейлора:
Ar + Ar) =f(r) + 1Лг)/1!].(Аг) + \f"(r)/2\\(Ar)2 + ... . (9.18)
Обозначим: f(r + Ar) — f(r) = АР.
Введя величину АЛ разделив обе части (9.18) на P и ограничившись третьим членом ряда, можем записать:
АР/P= [f'(r)/P]-(Ar) + [f"(r)/2P](Ar)2.
Величина f'(r)/P есть модифицированная дюрация (-D1n).
93
Следующий элемент ряда Тейлора \f"(r)\, деленный на Р, называется выпуклостью. Обозначим этот показатель через W\
W = r(r)/P = j?t(t + I)Cf; (1 + г)"'-* =
= ^Kf+ l)Cfyi +гГ (919)
(1+г)2/>
Если купонный доход выплачивается т раз в году, то для расчета выпуклости используется формула:
^Kf+ I)Cf)(I + г/иГ ^ (1 +г//и)2Ли2 * (^u'
Относительное изменение цены, определенное с учетом выпуклости, может быть рассчитано так:
АР/P = -DAr +0,5 ^Ar2. (9.21)
ПРИМЕР. Облигация номиналом 1200 руб. куплена по цене 1000 руб. за 4 года до погашения. Купонная ставка — 15%, купонный доход выплачивается один раз в год, доходность к погашению данной облигации — 21,64%. Прогнозируется рост доходности до 25%. Найти цену облигации при указанном росте доходности.
