Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
/ 3 3 3 \/l
0P = 2 X\Xj°\j + S X2XJ°2j + X *3*ytfЗУ w-i У-1 У-1 /
= (X1X1O11 + X1X2O12 + X1X3O13 + X2X1O21 + X2X2O22 +
у
+ X2X3O23 + X3X1O31 + X3X2O32 + X3X3O33/2 .
Необходимо учесть, чтоо/7 = PnO1Oj (см. (7.6)), а так как р/7 = 1, то On = о^. Поэтому можем записать: ор = (х2о2 + х2о2 + х2о2 + 2X1X2O12 + + 2X1X3O13 + 2X2X3O23)1/2.
ПРИМЕР. Имеем следующую ковариационную матрицу (величины с^):
/ \
1
2
3
1
146
187
145
2
187
854
104
3
145
104
289
Допустим, je, = 0,2325, jc2 = 0,4070, jc3 = 0,3605. Найти среднеквадратичное отклонение портфеля.
Решение. ор = (0,2325 • 0,2325 • 146 + 0,2325 • 0,4070 • 187 + 0,2325 • 0,3605 х ж 145 + 0,4070 • 0,2325 • 187 + 0,4070 • 0,4070 • 854 4- 0,4070 • 0,3605 х ж 104 + 0,3605 • 0,2325 ¦ 145 + 0,3605 • 0,4070 • 104 4- 0,3605 • 0,3605 • 289)1/2 = = 16,65.
71
Дисперсия портфеля
\
Системати- _^ ческий риск
Уровень систематического риска
Количество ценных бумаг в портфеле
Рис. 7.1
Процесс рассредоточения средств инвестора между различными видами ценных бумаг называется диверсификацией портфеля. Соответственно портфель, содержащий различные виды ценных бумаг, называется диверсифицированным.
Существует следующая зависимость: чем больше ценных бумаг находится в портфеле, тем ниже значение среднеквадратичного отклонения портфеля в целом.
Общий риск портфеля ценных бумаг может быть разделен на две части — несистематическую и систематическую.
Несистематический риск — это часть общего риска, которая может быть снижена через диверсификацию.
Систематический риск не может быть устранен посредством диверсификации портфеля и связан с колебаниями общерыночной конъюнктуры. Графически названные риски могут быть изображены следующим образом (рис. 7.1).
Портфель, состоящий из двух ценных бумаг. На примере портфеля, состоящего из двух ценных бумаг, рассмотрим основные свойства инвестиционного портфеля.
Доходность и среднеквадратичное отклонение такого портфеля определятся по формулам:
Каким образом можно сформировать портфель, обеспечивающий наименьший риск? Задача создания такого портфеля сводится к определению долей ценных бумаг, из которых состоит портфель, обеспечивающих минимальную дисперсию портфеля, т.е. дисперсия портфеля может быть рассмотрена как функция от упомянутых долей.
Пусть X1 — доля ценной бумаги А, а (1 — X1) — доля ценной бумаги Б. Среднеквадратичное отклонение портфеля может быть рассчитано по формуле:
Гр Г\Х\ г2*2»
(7.7)
>)1/2.
(7.8)
72
ор = ^x2oJ +(1 -X1)2O2 + 2X1(I-X1)O1O2P12. (7.9)
При заданных значениях O1, о2, р12 величина ор является функцией от л,. Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю ее первой производной. Продифференцируем данную функцию и приравняем первую производную к нулю:
2X1O2 - 2(1 - X1 )о2 + 2(1 - 2х, )oj02p12 2fx*o2{ +(1 -X1)2O2 + 2X1(I -X1)O1O2P12
= 0, (7.10)
откуда:
X1 = (о\ - O1O2P12)Ao^ + о\ ~ 2O1O2P12). (7.11)
На основе формулы (7.11) определяются доли ценных бумаг в портфеле, обеспечивающие минимальный риск.
В зависимости от величины коэффициента корреляции получаем:
D P12 = -1,
X1 = (о2 + O1O2)Ao2J + о\ + 2O1O2) = O2Ao1 + о2); (7.12)
1 ~ X1 = O1Aa1 + о2).
Если подставить данные значения в формулу для вычисления о , то получим:
I/ \2 / \2
ор=М-1-—I of+ і-і—і о\-2-S— --O1O2-O.
р П°1+°2/ \ol+o2/ O1+O2 Oj+o2
Таким образом, при абсолютной отрицательной корреляции между доходностями ценных бумаг можно подобрать доли этих бумаг так, что риск портфеля будет равен нулю;
2) р|2 = 0.
В этом случае связь между доходностями ценных бумаг полностью отсутствует:
о2/(о2 + о2); (7.13)
X
= гг2
1 ^2/vv I w2
(1 -хх) = о]/(а] + о2);
/—;-~г
3) Pi2 = і.
В данном случае имеет место абсолютная положительная взаимосвязь: X1 = O2Aa2 - о,); (7.14)
(1 ~ X1) = - O1Aa2 ~ O1);
73
Таблица 7.1
Периоды
Доходность ценных бумаг, %
А
Б
1
5,5
10
2
8,1
30
3
6,2
20
4
3,4
40
5
8,5
25
6
6,0
10
7
7,0
5
8
5,0
30
9
8,0
10
10
9,0
15
11
9,5
50
12
7,5
20
Как видно из приведенных формул, одна из долей является отрицательной, а другая — больше единицы (сумма долей равна единице). Риск данного портфеля также нулевой, как и в случае абсолютной отрицательной взаимосвязи. Рассматриваемый портфель формируется на основе короткой продажи одной из ценных бумаг (той, доля которой отрицательна): продажи взятой в долг бумаги с последующим ее возвратом посредством покупки в будущем.
Расчет риска и доходности различных вариантов построения портфеля из двух активов. Предположим, что мы имеем две ценные бумаги (А и Б), доходности которых в ретроспективном периоде характеризовались следующими данными (см. табл. 7.1).
Данные ценные бумаги характеризуются следующими показателями средней доходности и риска: rA = 7,0; оА = 1,8; гБ = 22,1; аБ = 13,6;
