Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
1. Создается фонд, в который делаются взносы в течение 10 лет один раз в конце года по 40 тыс. руб. На собранные средства начисляются проценты по сложной ставке 10%. Каков размер фонда к концу срока?
Решение. S = Л[(1 + 0я - 1]// = 40 • [(1 + 0,1)10 - 1]/0,1 = 636,5 тыс. руб.
2. Найти наращенную сумму ренты при условии, что процент начисляется ежеквартально. Условия те же, что в задаче 1. Сложная ставка равна 12%.
Решение. S= R\(\ + y/m)'"» - 1]/[(1 + y/nif1 - 1] = 40[(1 + 0,12/4)40 -- 1|/[(1 + 0,12/4)4 - 1] = 723,2 тыс. руб.
3. Для создания премиального фонда один раз в год производятся взносы 4 тыс. руб. На вносимые средства начисляются проценты по
3.7. Задачи и решения
48
сложной ставке 6% годовых. Определить размер фонда через 5 лет. Рассмотрим следующие ситуации:
а) поступление средств в конце года, начисление процентов 2 раза в году.
Решение. S=R[(l+ у/т)тп - 1]/[(1 4- у/т)т - 1] = 4000[(1 4- 0,06/2)2'5 -- 1 j/|(l + 0,06/2)2 - 1] = 22,6 тыс. руб.;
б) поступление средств в конце квартала, начисление процентов 2 раза в году.
Решение. S = R[(\ 4 у/т)тп — \]/{к[(\ + у/т)т1к - 1]} = 4000[(1 + 4 0,06/2)2'5 - 1]/{4[(1 + 0,06/2)2/4 - 1]} = 23,08 тыс. руб.;
в) квартальное поступление средств и квартальное начисление процентов.
Решение. S = 4000[(1 4- 0,06/4)4'5 - 1]/{4 • [(1 + 0,06/4)1 - 1]} = = 23,1 тыс. руб.
4. Фирма в качестве компенсации работникам за причиненный им ущерб выплачивает 100 млн руб. в течение 25 лет1. Платежи должны производиться равномерно в течение этого периода — в конце каждого квартала. Найти реальную стоимость данной компенсации для фирмы, если принять годовую ставку сложных процентов на уровне 10%.
Решение. Найдем годовой платеж: R = 100/25 = 4 млн руб.;
А = R[I - (1 4 /)-"]/{? • [(1 + О1/* - 1]} = 4[1 - (1 + 0,1)"25]/{4[(1 + 4 0,1)'/4 - 1]} = 37,5 млн руб.
5. Найти доходность инвестиций, если первоначальное вложение— 1 млн руб., а ежегодные доходы, поступавшие в конце каждого года, — 100 тыс. руб. Период вложения — 15 лет.
Решение. Используем метод Ньютона—Рафсона. Коэффициент приведения а = А/R=X 000 000/100 000 = 10;
Z0 = 6%;
q0 = 1 4- 0,06 = 1,06;
Aq) = (?-«- і) + ^- О;
/(1,06) = (1,06"15 - 1) + 10(1,06 - 1) = -0,58 + 0,6 = 0,02;/'(1,06) = = 10—15- 1,06"16 = 10 - 5,9 = 4,1; qx = 1,06 - 0,02/4,1 = 1,06 - 0,005 = = 1,055; /, = (1,055 - 1) • 100 = 0,055, или 5,5%.
Вторая итерация: /, = 0,055; qx= 1,055;/(1,055) = (1,055"15 - 1) + 4 10(1,055 - 1) =-0,02;/'= (1,055) = 10 - 15- 1,055"16= 10-6,4 = 3,6; q2 = 1,055 4 0,02/3,6 = 1,055 4 0,0006 = 1,0556; I2 = 1,0556 - 1= 0,0556, или 5,56%.
дрнсч = (1-(1 + 0,0556)"15]/0,0556 - 10.
См.: Четыркин Е.М. Указ. соч.
49
6. Создается фонд на основе ежегодных отчислений в начале года 10 тыс. руб. в течение 5 лет по сложной процентной ставке 20%. Найти сумму фонда к концу периода.
Решение. Так как платежи осуществляются в начале года, имеем ренту пренумерандо. Корректируя формулу (3.4) определяем наращенную сумму ренты: S = 10[(1 + 0,2)6 - (1 + 0,2)]/0,2 = 89,3 тыс. руб.
Глава 4
ПЕРЕМЕННЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
4.1. Общие сведения
В ряде финансово-экономических процессов потоки платежей состоят из элементов, изменяющихся в течение рассматриваемого временного периода, т.е. в данном случае эти элементы являются переменными величинами, а не постоянными, как в случае, рассмотренном в гл. 3.
Рассмотрим регулярные переменные потоки платежей. Это такие потоки, в которых величины элементов потока изменяются во времени по определенному закону.
4.2. Ренты с постоянным абсолютным изменением элементов
В данной разновидности ренты каждый ее элемент отличается от предшествующего на постоянную величину с. Предположим, что имеет место возрастание платежей, осуществляемых в конце года. Имеем последовательность /?, R + с, R + 2с, R + Зс, R H- (п — l)c. На элементы ренты начисляются проценты по сложной ставке /. Величину (1 + /) обозначим через g и определим наращенную сумму ренты:
S = Rg1-1 + (R + c)gt1~2 + (R+ 2c)g"~3 + ... + [R+ (п - 2)c]g +
+ [R + (п- \)с\.
После преобразования получим:
S = R(f~x + g"~2 + gn~3 + ... + g +\) + c[f~2 + 2gn~3 + ...
... + (/1-2)*+ (л - 1)]. (4.1)
Выражение R(g"~[ + g"~2 + g"~3 + ... + g +1) есть наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо. Эту величину можно записать так: 5, = Rsn j9 где sn4 — коэффициент наращения постоянной ренты пренумерандо с п членами и начислением сложных процентов по ставке /. Выражение в квадратных скобках формулы (4.1) обозначим через W, умно-
50
жим W на g и найдем разность Wg- IV = g" [ + g1 2 + 3 + ... + g + + 1-/1.
Сделав преобразования, получаем: = s/r/ — /t, отсюда следует:
S = As11., + (c/i)(sn . - п).
(4.2)
Выражение (4.2) после соответствующих преобразований может быть представлено в виде
S = (R + c/i)sn.f- пс/І.
(4.3)
С учетом формулы (3.9) и соответствующего преобразования формулы (4.3) получаем выражение для расчета современной стоимости переменной ренты рассматриваемого вида:
