Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
R ,/і (1 + /У-'/*) - 1 1 - (1 4- /Г"
"Tlltr'' (iVi -*t|(1+V-ir <317)
ПРИМЕР. Для условий предыдущего примера предположим, что рентные платежи осуществляются по полугодиям и проценты начисляются один раз в году.
Решение. A = 100 • 2[(i +(0 2)^2- 1] = 313,4 МЛН Руб*
Рента к-срочная при т = к. Как и в предыдущих вариантах ренты, необходимо привести (продисконтировать) все элементы к началу периода ренты. Современная стоимость первого элемента ренты в результате такого приведения будет (/?//и)(1 + у/т)~х, знаменатель геометрической прогрессии (1 4 у/т)~\ количество элементов геометрической прогрессии пк. Сумма геометрической прогрессии:
А=a (1+у/я0-. V1+ZrVT",1 - *'-<1+^)-™. (3.18)
т (1 + у/т) 1 - 1 . у
ПРИМЕР. В предыдущем примере предположим, что рентные платежи осуществляются по полугодиям и по полугодиям начисляются проценты.
1-(1 4 0 2/2Г2'5 Решение. А = 100 •--1 0 2 -= 307,2 МЛН РУ6*
42
3.6. Определение характеристик финансовых рент
Как показано выше, наращенная сумма ренты может быть представлена формулой
а современная стоимость ренты
1-(1+ /)-"
A = R
Из этих формул можно получить: коэффициент наращения ренты
*-4-"+f-' (3.19)
R і
и коэффициент приведения ренты
«-4- '-C + O-. (3.20)
Эти коэффициенты табулированы при известных параметрах /и п (ем. приложение).
Можем найти величину R. Из формулы (3.19):
S- і
R=-. (3.21)
(1 + 0" - 1
Из формулы (3.20):
R=-—-. (3.22)
1-(1+ /Г"
Предположим, что известен кредит, но неизвестны размеры погасительных выплат. Эти выплаты могут быть представлены как члены денежного потока, т.е. ренты, а размер начального кредита — как современная стоимость этой ренты. Для нахождения сумм погасительных платежей целесообразно использовать формулу (3.22).
ПРИМЕР. Кредит в сумме 200 млн руб. выдан на 4 года по ставке сложных процентов 20% годовых. Возврат кредита предполагается осуществлять равными годовыми выплатами, включающими сумму основного долга и проценты. Найти величину погасительного платежа.
Решение. R = 200 • 0,2/(1 - (1 + 0,2)~4] = 77,26 млн руб.
ПРИМЕР. Какие ежегодные отчисления необходимо осуществить, чтобы за 5 лет сформировать денежный фонд в размере 1 000 000 долл. при ставке 5%.
Решение. R = 5//((1+ 0"-1] = 1 00 0000 • 0,05/[(1 - 0,05)5 - 1] = 181 000 долл.
43
Определение периода ренты (п). Из формулы (3.19) получаем:
^•/+1=(1 + О», 1п(-|- / + 1) = я1п(1 + О,
In
In(I + О
Из формулы (3.20) находим:
ff •'¦+Ij
п = } /Л ^ . (3.23)
1 ~Т' /= 0 + /г"' In(I - ^- 0 = ~«1п(1 + О,
ИЛИ
4-4-'
— іію+ />-'• <3-24а)
ПРИМЕР. За какой период будет возвращен кредит 500 млн руб., выданный по сложной ставке 20% годовых, если предполагается его выплачивать равными годовыми платежами (долг плюс проценты) по 120 млн руб.
4
Решение, п =--=9,8 года.
In(I + 0,2)
Определение ставки процента в финансовых рентах. Из приведенных выше формул алгебраически нельзя выразить значение ставки процента. Поэтому для ее нахождения необходимо использовать специальные способы, позволяющие получить приближенное решение. Для этой цели могут быть применены различные методы, из которых наиболее употребимыми являются методы линейной интерполяции и Ньютона—Рафсона.
Метод линейной интерполяции. Введем следующие обозначения:
1-(1+ 0""
u = -_-L--коэффициент приведения ренты;
(1 + /)" - 1
s = -_--коэффициент наращения ренты.
44
Рис. 3.3. Взаимосвязь коэффициента наращения ренты и процентной ставки
Рассмотрим графически взаимосвязь между коэффициентом наращения ренты и величиной процентной ставки. Как видно из рис. 3.3, эта взаимосвязь является нелинейной. Если нам не требуется очень точно определить величину процентной ставки, предположим, что на некотором небольшом отрезке зависимость является линейной. На этом отрезке находится точка с ординатой, равной s, т. е. фактическому значению коэффициента наращения ренты. Заметим, что действительную величину процентной ставки /' мы не знаем. Предположив линейность зависимости, ставим своей задачей найти величину /, которая является приблизительной оценкой /'. Значение этой приблизительной оценки можно найти графическим способом.
Рассмотрим треугольник ЛВС на рис. 3.3. Он подобен треугольнику AFG. Из подобия треугольников можно составить пропорцию:
Из рис. 3.3 видно, что AC = /в - /н; ВС = sB - sH; AG = / - /н; FG = = s — 5Н, где /н — нижняя граница ставки процента; / — искомая ставка процента; sH и s? — коэффициенты наращения ренты, рассчитанные исходя из нижней и верхней границ ставки процента.
Подставляя в приведенную выше пропорцию соответствующие характеристики ренты, получаем: (/в— /н) / (sB— sH) = (/ — /н) / (s — sH).
Откуда имеем
Аналогичным образом можно получить формулу для нахождения процентной ставки через коэффициент приведения ренты, но здесь следует иметь в виду, что зависимость между величиной этого коэффициента и процентной ставкой обратная:
AC ВС
