Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
R, R(I + у/т)'\ R(\ + у/т)2т, R(X + у/т)Ът, R(X + у/т)т^~х).
Используя формулу суммы конечной геометрической прогрессии (первый элемент этой прогрессии /?, знаменатель (1 + у/т), количество членов п), получим:
(1 + у/т)т - X
ПРИМЕР. Создается фонд, в который в течение 5 лет производятся ежегодные взносы в размере 100 млн руб. с ежеквартальным начислением на них сложных процентов по ставке 20% годовых. Найти величину фонда по истечении пятилетнего периода.
(1 + 0,2/4)4,5 - 1 = (1 + 0,2/4)4 - 1
= 765,66 млн руб.
Решение. Используя формулу (3.10), получим: S = 100 /| _,_ Л ^/А.4 _
Рента к-срочная с начислением процентов один раз в год (т = 1). В этом случае платежи производятся несколько раз в течение года (по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и т.д.), но проценты на эти платежи осу-
39
шествляются один раз в год. Разовый платеж в данном варианте ренты будет R/k. Платежи осуществляются п лет к раз в году. Всего за период ренты производятся пк платежей. Если рассмотреть платежи в обратном порядке, то к концу срока ренты последний платеж составит R/k, предпоследний - (R/k)(l + і")'/*, затем (R/k)(\ + /)2Д, (R/k)(l + /)зд и т.д. Имеем последовательность, которая представляет собой геометрическую прогрессию, состоящую из пк членов, с первым членом R/k и знаменателем (1 + /)'/*. Отсюда наращенная сумма будет:
R_ (1 + Q* -1
к ' I (1 + /)* -1
R-
(I+ /)"-!
(1 + /)* -1
(3.11)
ПРИМЕР. Изменим условия предыдущего примера, предположив, что рентные платежи осуществляются по полугодиям и проценты начисляются один раз в году.
Решение. Применяя формулу (3.11), получим: S = 100
= 779,8 млн руб.
(1+0,2)5-!
(1+0,2)1-1
Рента к-срочная при т = к. Поскольку в данном случае т = к, можем вместо обозначения величины рентного платежа R/k записать R/m. Имеем такую последовательность:
R/m, R/m(\+y/m), R/m(\+y/m)2, R/m(l+y/m)\ R/m(\+у/тУт~ 1K
(3.12)
m
(1 + y/m)mn 1 _ р. (1 + y/m)mn - 1
-— К •-
(1 + y/m) - 1
ПРИМЕР. Предположим, что в предыдущем примере проценты начисляются каждое полугодие.
(1 + 0,2/2)25 - 1
Решение. S = Ш--= 796,87 млн руб.
0,2
Рента к-срочная при к * т. Отдельный член ренты равен R/k. На сумму последнего члена ренты проценты начислены не будут. Предпоследний член ренты будет находиться в фонде (если предположить, что такой создается) \/к часть года; платеж, предшествующий предпоследнему, — 2/к части года и т.д. На платеж, находящийся в фонде один год, проценты будут начислены в полном размере, и коэффициент его наращения составит (1 + у/т)т. Соответственно коэффициент наращения для последнего члена ренты будет (1 + у/т)т/к, для предшествующего — (1 + у/т)2т/к, затем (1 + у/т)3т/к и т.д. Можно записать геометрическую прогрессию (в обрат-
40
ной хронологии) с пк членами, первым элементом R/Ic9 знаменателем (1 + + у/т)т/к. Сумма этой геометрической прогресии:
«Л. (1 + y/m)Wk)-к - і _ (1 +у/тГ«- 1
к (1 + y/zw)"1/* - 1 Jfc[(l + y/zw)"1/* - 1] ' 1 '
ПРИМЕР. Для условий предыдущего примера предположим, что платежи осуществляются ежеквартально, а проценты начисляются по полугодиям.
Решение. Используя формулу (3.13), получим:
(1 + 0 2/2)2 5 - 1 S - 100 • 4[(I+ 0,2/2)^-1] = 816'4 ШН РУ6-
Годовая рента с непрерывным начислением процентов. Обозначим непрерывную ставку процентов через q. Получим геометрическую прогрессию с первым членом Л, знаменателем Сумма годовой ренты с непрерывным начислением процентов определится по формуле:
pqn — 1
S=K-^T=T- (314)
Рента к-срочная с непрерывным начислением процентов. Формула (3.14) трансформируется следующим образом:
s-R-w^w- (3,5>
ПРИМЕР. Имеется рента с годовым платежом 100 млн руб. Проценты начисляются непрерывно по ставке 20% годовых. Срок ренты — 5 лет. Найти наращенную сумму для случаев: а) годовой ренты; б) квартальной ренты.
Решение. Получаем:
a) S = 100 • ~, 1 = 777,4 млн руб.;
е3- — 1
б> S= 100 ' 4^.2/4 Z J) = 837'8 MJ1H РУб-
3.5.2. Современная стоимость
Годовая рента с начиЛгением процентов т раз в году. Если проценты начисляются т раз в году, то современная стоимость первого члена ренты составит R(\ + у/т)~т, второго — R(I + у/т)~2т, третьего — A(I + + у/т)~3т и т.д. Имеем геометрическую прогрессию:
R(I + у/т)~п\ R(I + у/т)~2т, R(I + у/т)~3т, R(I + у/т)~пт.
41
Нетрудно видеть, что первый элемент данной геометрической прогрессии равен R(\ + у/т)~п\ знаменатель (1 + у/т)~т, количество членов прогрессии п. Обозначив через А сумму современных стоимостей членов ренты, получим:
A = R(I+ у/т)- ¦ <' + У'?-™Я -]=R - 1 - <' + У'"» 7'. (3.16)
(14 у/т) т- 1 (1 + у/т)т - 1 '
ПРИМЕР. Создается фонд, в который в течение 5 лет производятся ежегодные взносы 100 млн руб. с ежеквартальным начислением на них сложных процентов по ставке 20% годовых. Найти современную стоимость данного денежного потока.
1-(1+0 2/4Г4"5 Решение. Л = 100 • (1 ;-0 2/4)4 - l = 577'5 MJ1H руб'
Рента к-срочная с начислением процентов один раз в год (т = 1). Приведенный к началу периода первый член ренты будет равен (R/k)( 1 + + Z)-1A второй - (R/k)(l + /)-2Д третий - (R/k)(\ + 0"ЗЛ и т.д. Таким образом, можно составить геометрическую прогрессию с первым элементом (R/k) (1 + /)-,/* и знаменателем (1 + /)_|/*. Число членов данной геометрической прогрессии пк. Следовательно, сумма современных стоимостей элементов рассматриваемой ренты составит:
