Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
В нашем случае bx = /?, q = 1 + /, таким образом:
Эта формула значительно упрощает расчеты наращенной суммы ренты.
ПРИМЕР. Формируется фонд на основе ежегодных отчислений в сумме 5 млн руб. с начислением на них процентов по сложной ставке 20%. Определить фонд через 8 лет.
с . (1 + 0,2)8 - 1 < 4,298 - 1 0. л. Решение. S = 5 •---= 5 • Q 2-= ' млн ру
36
3.4. Современная стоимость ренты
Современная стоимость ренты — это сумма современных стоимостей элементов ренты. Современная стоимость элемента ренты определяется дисконтированием его величины на начало периода ренты.
Допустим, что нам даны платежи R{9 R2, R3, Rn. Определим, сколько стоит сумма всех элементов (платежей) ренты в нулевой точке. Для определения современной стоимости ренты, как уже отмечалось, нужно произвести дисконтирование величин ее элементов или, иными словами, найти их современные стоимости.
Приведем суммы рентных платежей к единой временной точке начала периода (см. рис. 3.2).
P1 R2 P3 Rn
0 12 3 п
<-1 I
Я2(1+/Г2 *-'
Д3(1 + /)~ 3 <-1
Я„0 + 'Г <-
Рис. 3.2
Если на основе современных стоимостей элементов ренты составить последовательность в прямой хронологии, то получим
A(I + /Г1, R(I + і)"2, A(I + О"3, A(I + 0~". (*)
Как уже отмечалось, современная стоимость ренты — это сумма приведенных (дисконтированных) величин элементов ренты на начало периода, т. е.
А = R^(I + /Г'. (3.5)
Это прямой метод определения современной стоимости ренты. Так как ряд (*) — это геометрическая прогрессия с первым элементом R(I + О"1 и знаменателем (1 + /)"1, то имеем:
л-ж. + о-;;:;;:;:;-*1-'1;^, м
где п — количество лет ренты.
Для случая вечной ренты (л-*») рассмотрим формулу современной
ы л. г I- (1 + О"» 1
стоимости. Из того, что в формуле hm-—:—-— = — выражение
(1 + /)~" -* 0 при п -* оо, следует, что современная стоимость вечной ренты определится так:
37
(3.7)
ПРИМЕР. В соответствии с кредитным соглашением общая сумма долга (с процентами) погашается равными частями в течение 5 лет равными выплатами в размере 1 млн руб. В расчетах используется сложная ставка 20% годовых. Найти основную сумму долга.
Решение. /7 = 5,/?= 1 млн руб., / = 0,2. Платежи по погашению долга представляют собой ренту, срок действия которой 5 лет. Искомая величина начальной (без процентов) ссуды может быть рассмотрена в качестве современной стоимости потока платежей по погашению кредита: А = 1 • [1 -- (1 + 0,2Г5]/0,2 = 2,991.
ПРИМЕР. Имеется бессрочная облигация стоимостью 10 тыс. руб. с постоянной купонной ставкой, равной 20%. Средняя норма доходности на рынке ценных бумаг равна 25%. Найти текущую стоимость облигации. Текущая стоимость облигации может быть рассмотрена как современная стоимость бесконечной ренты, представленной последовательностью купонных выплат.
Решение. R = 10 000 • 0,2 = 2000 — ежегодно получаемый купонный доход, А R 2000
/ 0,25
= 8000 тыс. руб.
ПРИМЕР. Предположим, что на основе ежегодных отчислений в сумме 100 000 долл. в течение 10 лет формируется фонд для выплаты премий в области финансовой математики. Ставка процента 10%. Найти величину фонда через 10 лет.
Решение. Используем формулу наращенной суммы ренты: S = 100 000 • [(1 + + 0,1)10 - 11/0,1 = 1 590 000 долл.
Соотношение между наращенной суммой и современной стоимостью ренты. Разделим выражение (3.4) на (3.6):
S ,(1+,-).-1--/_, (1 + ,Y- 1 = +
А і 1-(1 + /Г" і 1 v ;
(1 + /Г
Таким образом,
S= А(\ + 0я, (3.8)
A = S(I + і)-". (3.9)
ПРИМЕР. Современная стоимость ренты постнумерандо со сроком 5 лет — 500 млн руб. Процентная ставка принята на уровне 15% годовых. Определить наращенную сумму данной ренты.
Решение. S= 500(1 + 0,15)5 = 1005,7 млн руб.
38
3.5. Расчет показателей ренты
при осуществлении платежей и начислении процентов несколько раз в году
Рассмотренные выше методы определения основных характеристик финансовых рент относились к рентам, в которых платежи осуществлялись один раз в году с начислением на них процентов также один раз в год. На практике существуют более сложные варианты рент, которые характеризуются более частыми платежами (в общем случае к раз в год) и начислением процентов несколько раз (в общем случае т раз) в год.
3.5.1. Наращенная сумма
Годовая рента (к = 1) с т-разовым начислением процентов. В этом случае рентные платежи производятся один раз в год в течение п лет, но проценты начисляются т раз в год по годовой номинальной ставке у (см. п. 1.2). Если рассматривать ренту постнумерандо, то первый член ренты к концу периода ренты с начисленными процентами станет равным R(X + у/т)т<"~{\ второй член достигнет величины R(I + у/т)т("~2) и т.д. Величина последнего члена ренты составит R, так как на него не будут начисляться проценты по причине того, что этот платеж производится в конце последнего года срока существования ренты.
Имеем последовательность, состоящую из п членов, составленную в обратной хронологии: