Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
Если осуществить приведение к так называемой нулевой точке (на начало первого года), то уравнение эквивалентности будет иметь вид:
20(1+0,1)"3= 10(1 + 0,1)-2 + FV(I + 0,1)"5.
Приведем все платежи к последней точке (к пятому году): 20 (1 + 0,1)2 = = 10(1 + 0,1)3 + FV14 откуда FV= 10,9 млн руб.
Вывод: к какой бы точке мы ни приводили данные платежи, результат не меняется.
5. Суммы 5 млн и 10 млн руб. положены на 2 года на депозит, причем первая — по ставке 10% годовых, а вторая — 20% годовых. По какой ставке можно было бы положить эту сумму на указанный срок, чтобы получить тот же финансовый результат?
Решение. Используем в расчетах формулу (2.37):
т 5(1+0,I)2+10(1+0,2)2 . Л1,0 ЛСОм / = ^- ^-_1 =0,168, или 16,8%.
33
Глава З
ФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ
3.1. Общие сведения
Финансовый поток (поток платежей, денежный поток) — это распределенная во времени последовательность оттоков и притоков денежных средств. Отдельный платеж (приток или отток) является членом, или элементом, потока платежей.
Элемент денежного потока, характеризующий отток средств, в ряде случаев показывается с отрицательным знаком, а элемент, отражающий приток средств, — с положительным.
Поток платежей, в котором выплаты осуществляются через установленные равные интервалы времени, все элементы которого равны, называется аннуитетом или постоянной финансовой рентой. Величина отдельного платежа называется элементом ренты или периодической рентой (periodic rent)1.
3.2. Виды финансовых рент
Ренты можно классифицировать по следующим признакам2:
1) по количеству выплат в течение года:
годовые — ренты, в которых платежи осуществляются один раз в году;
/:-срочные — ренты, в которых платежи осуществляются к раз в году;
непрерывные — ренты, в которых платежи осуществляются непрерывно, т.е. количество платежей в течение года стремится к бесконечности, а интервал между платежами — к нулю;
2) по количеству начислений процентов: с ежегодным начислением процентов;
с w-разовым начислением процентов в течение года; с непрерывным начислением процентов;
3) по величине элементов ренты: постоянные; переменные;
4) по вероятности выплат:
верные — с заранее определенными элементами;
условные — значения элементов которых заранее не определены;
1 Pollard Л.Н. An Introduction to the Mathematics of Finance. Sydney: Pergamon Press, 1977. P. 197.
2 См.: Четыркин Е.М. Указ. соч. С. 84—86.
34
5) по количеству элементов ренты: с заданным числом элементов;
с бесконечным числом элементов;
6) по соотношению начала срока ренты и начала действия контракта: немедленные — действие которых начинается сразу с момента заключения контракта;
отсроченные — действие которых начинается по истечении определенного времени после заключения контракта;
7) по моменту выплат:
постнумерандо — платежи в этих рентах осуществляются в конце установленного периода;
пренумерандо — платежи осуществляются в начале установленного периода.
3.3. Наращенная сумма ренты
Наращенная сумма ренты — это сумма всех ее элементов с начисленными на них процентами.
Рассмотрим процесс формирования наращенной суммы ренты постнумерандо.
Допустим, имеется поток платежей, приведенный на рисунке.
Платежи: Я, R0 R^ ... Rn
Годы. О 1 2 3 ... п -> Rn
I-> Я3(1 + /Г3
-> Я2(1 + /Г2
Я,(1 + /)п~1
Рис. 3.1
Как видно из рис. 3.1, платеж, совершенный в конце первого года, к концу периода ренты возрастет в (1 + /)""1 раз и превратится в сумму /?,(1 + О"-1; платеж второго года возрастет в (1 + і)"~2 раз и станет равным R2(I + /)""2 и т.д. Общая формула величины элемента ренты года / к концу срока ренты выразится как Rt(l + /)""'. Сумма ренты может быть определена прямым счетом по формуле
S=JU(I + /Г', (3.1)
/=і
где п — количество членов ренты; R1 — величина элемента ренты в год /; / — используемая в расчетах ставка сложного процента.
35
Поскольку по определению финансовой ренты R1 = R2 = R3 = ... = = R/r то, обозначив величину отдельного элемента через R, получим:
S = R^(I + О»"'. (3.2)
t=\
Предположим, что мы создаем фонд, для чего ежегодно осуществляем взносы в размере /?. На эти взносы начисляется процент тто сложной ставке годовых в размере /. Через п лет сумма средств в фонде составит S. Использование формулы (3.2) в практических расчетах при значительном периоде ренты весьма трудоемко. С целью упрощения расчетов используем другой подход.
Как уже отмечалось, к концу срока ренты первый платеж превратится в R1(I + О'7-1, второй — в R2(I + /)""2 и т.д. Если расположить эти величины в обратной хронологии, получаем такую последовательность:
Л, A(I + /), A(I + /)2, R(I + /У"1.
Видно, что эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом R и знаменателем (1 + /).
В общем виде сумма членов геометрической прогрессии с числом элементов п определяется по формуле
qn - 1 q-\ '
s,, = bi - -r—T-' (3.3)
где — значение первого элемента; q — знаменатель геометрической прогрессии.
