Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
Эквивалентность сложных учетной ставки и ставки наращения:
(1 + ІСГ= 1/(1 -dc)»,
ic = dc/(\ - dc), (2.32)
^=4/0 +'Л (2-33)
где dc — сложная учетная ставка.
Эквивалентность дискретных и непрерывных ставок. С учетом формулы (1.10) определения наращенной суммы при непрерывном начислении процентов уравнение эквивалентности запишется в виде: P(I + ic)n = = /V"', отсюда ic = е« - 1; q = In(I + /с).
Средние процентные ставки. Разновидностью эквивалентных ставок являются средние ставки. Средняя ставка является эквивалентной серии ставок, для которых определяется эта средняя, т.е. замена нескольких ставок их средней не меняет результата финансовой операции. Среди множества различных вариантов возможны следующие сравнительно простые случаи постановки проблемы определения средних ставок.
30
1. Нахождение средней процентной ставки за период, состоящий из подпериодов с известными размерами ставок за каждый подпериод.
1.1. Для простой ставки уравнение эквивалентности запишется: P(I + + N- 7) = P(I + 1пк • if.),
где N = пк — длительность А>го периода времени, в течение которого действует процентная ставка ik, 7 — средняя процентная ставка:
/=-—L. (2.34)
N
ПРИМЕР. Договор предусматривает использование в течение первых 3 месяцев простой ставки на уровне 15%, следующих четырех месяцев — на уровне 20% и последующих пяти месяцев — на уровне 25%. Найти среднюю ставку в целом за рассматриваемый период.
Решение. Используем формулу (2.34):
3 • 0,15 + 4 • 0,2 + 0,25 • 5 / =--= 0,208, или 20,8%.
1.2. Для сложной ставки уравнение эквивалентности имеет вид:
P(I + /)*= P(I + Z1V7I(I + /2)"2...,
Л/С
/= ^(UZ1)M + Z2)"2...-!. (2.35)
ПРИМЕР. Используются сложные ставки процента: в первые два года — 20%, в следующие три года — 25, в последующие четыре года — 30%. Найти среднюю ставку в целом за рассматриваемый период.
Решение, і = V(I +0,2)2 •(I +0,25)3 •(I +0,3)4 -1 = 0,26, или 26%.
2. Определение средней ставки для нескольких операций, периоды проведения которых одинаковы. Рассмотрим уравнения эквивалентности:
а) для простых процентных ставок
(ZPk)(\ + п • О = 2[Р,(1 + п • /,)],
б) для сложных процентов
(1РкЮ + /)'' = 2^(1 + /,)",
(2.36)
7- Д^і?-,. (2.37)
31
2.4. Задачи и решения
1. Платеж 5000 руб. с выплатой через 4 года заменяется на платеж 6000 руб. с выплатой через 5 лет.
1.1. Найти критические уровни простой и сложной процентных ставок.
1 - 5000/6000 t іллл,
Решение, і. =-= 1, или 100% — простая ставка;
ь 5000/6000 -5 -4
h = 5~fl- ~~ 1 = 0,2, или 20% — сложная ставка.
ь V 5000
Чтобы убедиться в правильности расчетов, можно сделать проверку:
5000(1 + 0,2)"4 = 6000(1 + 0,2)"5 = 2411 руб. - для сложной ставки;
5000(1 + 4 • I)"1 = 6000(1 + 5 • I)"1 = 1000 руб. - для простой ставки.
1.2. Как изменятся финансовые отношения сторон, если в расчетах используется ставка 30% годовых?
Решение. Простая ставка:
PVx = FVxZ(X + /л,) = 5000/(1 + 0,3 • 4) = 2273 руб.;
PV2 = FV2I(X + //I2) = 6000/(1 + 0,3 • 5) = 2400 руб.
Для получателя второй платеж предпочтительнее. Сложная ставка:
PVx = FVx(X + /)-"і; PV2 = FK2(I + i)-"2; . PVx= 1750,6 руб.; PV2 = 1650,0 руб.
В этом случае имеет место обратная ситуация — получателю более выгоден первый платеж.
2. По начальному соглашению было сформировано обязательство уплатить 100 млн руб. через 5 лет. Затем стороны решили изменить условия: через 2 года должна быть выплачена сумма 30 млн руб., а следующий платеж должен быть сделан через 4 года после первой выплаты. Определить сумму окончательного платежа в случае использования сложной ставки 10% годовых.
Решение. Для составления уравнения эквивалентности приведем все платежи к одному сроку — сроку уплаты начального платежа, т. е. к концу пятого года. Обозначим неизвестную сумму последнего платежа через FV. Тогда:
100 = 30(1 + 0,1)3 + FV(X + 0,1)"';
FV(X + 0,1)-' = 100 - 39,93;
FV= 60,07(1 + 0,1) = 66,077 млн руб.
3. Имеется обязательство выплатить 10 млн руб. через 4 месяца и 7 млн руб. через 8 месяцев. По новому обязательству принято решение
32
произвести выплату равными суммами через 3 и 9 месяцев при простой ставке 10% годовых. Найти величину выплат по новому обязательству.
Решение. PVx + PV2 = FV • ' Л ' 1 ' ' л '
I+W17 +fvi+a.i 12
PVx + PV2 = /У - 0,975 + FV- 0,930; 1 + 0,1 ~\ = 9,68;
/ о \-1
P^1 = 10
PV2 = 7
1 +0,1 =6,56;
PK1+ PK2 = 16,24;
fT(0,975 + 0,93) = 16,24; 16,24 = 1,905 W
4. Соглашение уплатить 20 млн руб. через 3 года было конверсировано в новое соглашение: уплатить 10 млн руб. через 2 года, а оставшуюся сумму — через последующие после первого платежа 3 года. Каков последний платеж, если в расчетах использовалась сложная ставка 10%?
Решение. Если в расчетах используется сложная процентная ставка, то можно приводить стоимости к любой временной точке и получить при этом один и тот же результат. Приведем все платежи к третьему году: 20 = 10(1 + 0,1) + FV(I + 0,1)"2 = Ю • 1,1 + FK(1/1,21) = 10,98; FV= (20 -- 11)/0,826 = 10,9 млн руб.
