Инвестиционный анализ - Аньшин В.М.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка):
Решение. FV0 = 3(1+ (30/360) • 0,3] + 5[1 + (20/360) • 0,3]-1 = 7,8 млн руб. Это меньше, чем их суммарная величина, так как консолидированный платеж осуществляется раньше окончательного срока первоначальной серии платежей.
ПРИМЕР. Платежи 2 млн и 5 млн руб. со сроками уплаты через 120 и 130 дней соответственно объединяются в один — через 150 дней. Процентная ставка — 30%. Найти консолидированную сумму.
Решение. FV0 = 2[1 + (150 - 120) : 360 • 0,3] + 5[1 + (150 - 130) : 360 • 0,3] = = 7,13 млн руб.
Сложные процентные ставки. При сохранении обозначений, введенных для простой ставки, имеем следующее уравнение эквивалентности:
= IFVj (1 + О'' + ^ FVk (1 + /Г*. (2.15)
ПРИМЕР, Платежи 1 млн и 2 млн руб. со сроками уплаты через 1 и 2 года соответственно заменяются одним платежом со сроком уплаты через 1,5 года. Сложная ставка процента — 20%. Найти FV0.
Решение. FV0= 1(1 + 0,2)0'5 + 2(1 + 0,2)"05 = 2,92 млн руб.
Определение срока консолидированного платежа. Если сумма консолидированного платежа FV0 задана, возникает задача определения его срока. Уравнение эквивалентности записывается в виде равенства современных стоимостей, участвующих в расчетах платежей:
27
FV0(\ + і • /і0)-' = ^FV. (1 + п. ¦ /)-'• (2.16)
Проведя алгебраические преобразования, получим:
«о4|-^-г-М- (2Л7)
ПРИМЕР. Суммы в размерах 5, 10, 15 млн руб. должны быть выплачены соответственно через 40, 90 и 100 дней. Принято решение заменить их одним платежом 50 млн руб. Найти срок консолидированного платежа, если используемая в расчетах процентная ставка 20%.
Решение. YfV1 (1 + п. • = 5(1 + -^- • 0,2)"1 + 10 (1 + -^- • 0,2)"1 + у J 365 365
+ 15O + 4tf ' °>2 Г1 = 28>21 млн руб.; 365
Сложная процентная ставка. Если в расчетах используется сложная процентная ставка, то уравнение эквивалентности имеет вид:
FK0(I+ /)-"о = ^FVj(X + (2.18)
Проведя алгебраические преобразования, получим:
"о--ыГы)-• (2Л9)
ПРИМЕР. Платежи 2 млн и 3 млн руб. со сроками уплаты через 2 и 3 года соответственно объединяются в один — 4 млн руб. Найти срок консолидированного платежа (я0), если / = 30%.
Решение. ?FVj(X + /Г"У =2(1 + 0,3 )"2 + 3 (1 + 0,3)"3 = 2,25;
И4/2.25) 0,4498 1 Л "<>= Ш1,3 =-0^62Г=и714г°Да-
2.3. Эквивалентность процентных ставок
В условиях, когда имеются различные варианты размещения финансовых ресурсов, важно соблюсти описанный выше принцип эквивалентности. Например, вкладчик рассматривает возможности размещения одной и той же суммы на депозите в одном случае по простой ставке, в другом — по сложной. Предположим, перед ним стоит задача получить одинаковые финансовые результаты от упомянутых альтернатив. Какие процентные ставки при этом следует использовать? Или допустим, что банк хочет определить эффективность учетной операции, для чего ему необходимо перейти от учетной ставки к ставке наращения. Могут быть
28
поставлены и другие задачи, требующие перехода от одного вида процентных ставок к другому при соблюдении равенства финансовых результатов.
Различные процентные ставки, обеспечивающие равные финансовые результаты, называются эквивалентными.
Эквивалентность простых ставки наращения(і5) и учетной ставки (ds). Исходное уравнение эквивалентности в данном случае имеет вид:
P(X + is п) = --^-. (2.20)
1 ~ ds ' п
Осуществив простые преобразования, получаем:
'.--ПчПГ- <2'22)
Если период осуществления финансовой операции меньше года, то /? = t/K (t — продолжительность финансовой операции, К — временная база, или расчетная продолжительность года). Формулы (2.21) и (2.22) соответствующим образом модифицируются (для случая равенства временных баз):
к-1.
"7TT^ ¦ <2-24>
ПРИМЕР. Банк осуществляет учет векселей по простой учетной ставке 20% годовых. Вексель учитывается за 30 дней до погашения. Какой величине простой ставки нарашения эквивалентна данная учетная ставка?
Решение. Z5= 360 • 0,2/(360 - 30 • 0,2) = 0,203. Учетная ставка 20% эквивалентна при данных условиях ставке нарашения 20,3%.
Эквивалентность простых и сложных ставок наращения при начислении процентов один раз в году. Уравнение эквивалентности запишется так:
P(X + і/г) = P(I + icy9 (2.25)
где is — простая ставка наращения; ic — сложная ставка наращения, т. е.
+ У-' , (2.26)
/ = "J(U/, •1I)-I. (2.27)
29
ПРИМЕР. Простая ставка — 50%. Найти эквивалентную сложную ставку для двухлетнего периода.
Решение. Z1 = Vl + 2-0,5 - 1 = 0,414.
ПРИМЕР. Сложная ставка — 60%. Период времени — 3 года. Найти эквивалентную простую процентную ставку.
Решение. /5 = [(1 + 0,6)3 - 1]/3 = 1,032, или 103,2%.
Эквивалентность сложной номинальной ставки при начислении процентов т раз в году и простой ставки:
1+ isn = (1 + у/т)т'\
(I + v/m)m" - 1 • = JJ-УПЮ-!_ (2 28)
y=(>»^\+is-n-\ym. (2.29)
Эквивалентность сложной номинальной ставки при начислении процентов т раз в году и годовой сложной ставки:
(1 + [СУ = (1 + у/т)"1", (2.30)
К = (1 + УImT - 1. (2.31)
Как видно, формула (2.31) совпадает с формулой (1.8) расчета эффективной ставки.
