Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
| 1 2 3 ... 9
19*
292
ГЛАВА И. НЕОБХОДИМОЕ РАЗНООБРАЗИЕ
11/5
Это преобразование определяет единственным образом некоторое множество исходов. В это множество войдут исходы, которые бы встретились фактически, если бы В в некоторой последовательности игр делал каждый возможный шаг по крайней мере один раз. Ибо 1 и у дают исход и 2 и а дают опять к и т. д., что приводит к преобразованию
, (1,Т) (2, а) (3,р) ... (9, а) I к . к к ... / '
Теперь можно высказать утверждение, что разнообразие этого множества исходов не может быть меньше, чем частное
разнообразие ходов игрока Р разнообразие ходов игрока /? '
т. е. в данном случае разнообразие множества исходов не может быть меньше 9/з.
Это утверждение легко доказать. Предположим, что /? отмечает один элемент в каждой строке и стремится просто к тому, чтобы удерживать разнообразие отмеченных элементов сколь возможно малым (оставляя пока в стороне всякое понятие о цели). Он отмечает некоторый элемент в первой строке. Во второй строке он должен перейти к новому столбцу, если он не хочет увеличить разнообразие отмеченных элементов добавлением к ним нового, отличного от них элемента. Ведь в первоначально выбранном столбце все элементы по предположению различны. Чтобы сохранять разнообразие в один элемент, Я должен в каждой строке переходить к новому столбцу. (Это лучшее, что он может сделать. Иногда такого перехода от столбца к столбцу будет недостаточно, чтобы сохранить разнообразие в один элемент; но для нашего рассуждения это неважно: поскольку нас интересует лишь наименьшее возможное разнообразие, мы допускаем, что обстоятельства складываются как можно благоприятнее.) Если 7? имеет п возможных ходов (в нашем примере три) и на п-й строке все столбцы использованы, то для следующей строкц один из столбцов нужно использовать снова, так что придется ввести новый исход в наше множество отмеченных исходов. На
11/6
ЗАКОН НЕОБХОДИМОГО РАЗНООБРАЗИЯ
293
пример, в таблице 11/5/1 выбор элемента к в первых трех строках позволит сохранять разнообразие в один элемент, но на четвертой строке придется ввести второй элемент в наше множество исходов.
Обобщаем. Если: а) никакие два элемента в одном и том же столбце не являются одинаковыми, б) # выбирает множество исходов, по одному из каждой строки, в) таблица содержит г строк и с столбцов, — то разнообразие выбранного множества исходов не может быть меньше, чем г/с^
ЗАКОН НЕОБХОДИМОГО РАЗНООБРАЗИЯ
11/6. Теперь мы можем взглянуть на эту игру (сохраняя все еще то ограничение, что никакой элемент не может встречаться дважды в одном и том же столбце) с несколько другой точки зрения. Если ход игрока # не изменяется, т. е. # делает один и тот же ход при любом ходе игрока О, то разнообразие исходов будет равно разнообразию ходов этого О. Теперь О, так сказать, полностью контролирует исходы.
Если же /? использует или может использовать два хода, то разнообразие исходов может быть уменьшено вдвое (но не в большее число раз). Если /? имеет три хода, то разнообразие исходов может быть уменьшено втрое (но не в большее число раз) и т. д. Таким образом, чтобы свести разнообразие исходов к некоторому заданному числу или к некоторой доле разнообразия ходов игрока Д разнообразие ходов игрока /? должно быть уве-. личено по меньшей мере до соответствующего минимума. ТОЛЬКО разнообразие ходов игрока /? может уменьшить разнообразие исходов.
11/7. Если разнообразие измеряется логарифмически (что почти всегда удобно), то при тех же самых условиях теорема принимает очень простую форму. Пусть У о— разнообразие ходов игрока Д У я — разнообразие ходов игрока /? и У о — разнообразие исходов (причем все они измеряются логарифмически). Как доказано в предыдущем параграфе, численное значение У0 не может быть меньшим, чем Ув — Уц. Следовательно, минимальное значение У о равно Ур— У я-
294 ГЛАВА //. НЕОБХОДИМОЕ РАЗНООБРАЗИЕ _11/3
Если Уг> дано постоянное значение, то У в — У в может быть уменьшено лишь за счет соответствующего роста Ув- Таким образом, разнообразие исходов, если оно минимально, может быть еще более уменьшено лишь за счет соответствующего увеличения разнообразия, которым располагает /?. (Более общая формулировка дается в §11/9.)
Это и есть закон необходимого разнообразия. Говоря более образно, только разнообразие в /? может уменьшить разнообразие, создаваемое Б\ только разнообразие может'уничтожить разнообразие.
Этот тезис настолько важен в общей теории регулирования, что я приведу еще несколько иллюстраций и доказательств его, прежде чем перейти к рассмотрению практических применений.
11/8. (При первом чтении этот параграф может быть опущен.) Этот закон имеет очень широкое применение и ни в коем случае не является просто тривиальным следствием табличной формы. Чтобы показать это, та же самая по существу теорема будет доказана для случая, когда разнообразие распределено во времени и ходы непрерывны. Этот случай специально рассматривался Шенноном. (Обозначения и понятия, встречающиеся в этом параграфе, взяты из книги Шеннона.)
