Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
0/23456789 Время (шаги)
Рис. 9/6/1.
Мы видим, что наши популяции, испытывая затухающие колебания, стремятся к состоянию равновесия (44,9; 42,9; 12,2), в котором система будет оставаться неограниченно долго. Под «системой» здесь понимаются, конечно, эти три переменные.
Следует заметить, что когда система устоялась и практически пришла к окончательным популяциям, появляется резкий контраст между популяциями, которые не изменяются, и насекомыми, которые беспрерывно движутся. Таким образом, с одним и тем же прудом могут быть связаны два совершенно различных смысла одного и того же слова «система». («Равновесие» здесь соответствует тому, что физик называет «установившимся режимом».)
Легко вычислить равновесные значения цепи Маркова. При равновесии значения не изменяются, так что,
240 ГЛАВА 9. НЕПРЕКРАЩАЮЩАЯСЯ ПЕРЕДАЧА Ш
9/6
241
скажем, авравно ав. Ввиду этого первая строка системы уравнений принимает вид
1 3 1
т. е.
0 = — iLaB + i;dw+-8aP-
Так же преобразуются остальные строки. Однако не все строки независимы, поскольку три популяции должны в этом примере давать в сумме 100; поэтому одна строка (любая) вычеркивается и заменяется строкой dB + dw + dp=\№.
Таким образом, система принимает, например, следующий вид:
— 7 dB+Tdw+ YdP==z0t dBJrdw + dp=m> 1и _!/# —о
4 aW S P
Ее можно решить обычным путем. В этом примере равновесными значениями будут (44,9; 42,9; 12,2); как и было предсказано в § 9/5, каждое отдельное насекомое не проводит много времени под камнями.
Упр. 1. Найдите последующие популяции, если в начальном состоянии все насекомые находятся на берегу. Упр. 2. Проверьте равновесные значения.
Упр. 3. На грани х шестигранной кости спрятан грузик. Если положить кость в ящик гранью / кверху и встряхнуть, то вероятность того, что она ляжет гранью g кверху, окажется после продолжительных испытаний следующей:
/
! 1 2 3 4 5 6
1 0,1 0,1 од од од од
2 од 0,1 од од од од
3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
g 4 0,1 ОД од од од ОД
5 0,1 од од од од од
6 0,1 од од од од
16 Зак. 3346. У. Росс Эшби
242
ГЛАВА 9. НЕПРЕКРАЩАЮЩАЯСЯ ПЕРЕДАЧА^
9/7
На какой грани спрятан грузик? (Указание: будьте осторожнее!) 1
Упр. 4. Соединение АВ растворяется в воде. В каждый небольшой промежуток времени каждая молекула имеет вероятность диссоциировать, равную 1%, и каждая диссоциированная молекула А имеет вероятность вновь вступить в соединение, равную 0,1%. Какова матрица переходных вероятностей молекулы с двумя состояниями: «диссоциирована» — «не диссоциирована»? (Указание: можно ли пренебречь числом диссоциированных молекул В?)
Упр. 5. (Продолжение.) Каково равновесное значение степени диссоциации?
Упр. 6. Выпишите преобразования: (I) переходов отдельного насекомого и (II) переходов популяций2. Как они относятся друг к другу?
Упр. 7. Сколько состояний обнаруживается в переходах насекомого? Сколько в системе популяций?
*Упр. 8. Пусть й — записанный в виде столбца вектор, составляющими которого служат популяции в различных состояниях; В' — этот же вектор шагом позже; М — матрица переходных вероятностей. Покажите, что в обычной матричной алгебре
/У = Ш), й'' = МЮ и 0^ = МпО.
(Это простое и естественное соотношение исчезает, если выписать матрицу в транспонированной форме.)
9/7. Зависимость от предыдущих значений. В определении цепи Маркова, данном в § 9/4х опущен один важный момент: вероятности перехода не должны зависеть от со-стояний, предшествующих операнду. Например, если насекомое ведет себя как цепь Маркова, то оно перейдет с берега в воду в 75% случаев, независимо от того, было ли оно перед этим на берегу, в воде или под камнями. Это можно проверить экспериментально, подсчитав процент перехода в каждом из трех возможных случаев и установив, что во всех случаях он равен 75%.
Вот протокол, в котором эта независимость не соблюдается:
ААВВАВВААВВАВВАВВАВВААВВАВВАВАВА.
1 Предполагается, что противоположные грани занумерованы соседними цифрами. — Прим. ред.
2 Здесь, как и в следующем упражнении, термин «популяция» означает вектор, составляющими которого служат три популяции (в обычном смысле) насекомых: на берегу, в воде, под камнями.— Прим. ред.
9/7
ЦЕПЬ МАРКОВА
243
Прямой подсчет дает переходы
А в
А
в
3 10
10
8
В частности, мы видим, что А и В следуют за В почти с одинаковой частотой. Если же мы переклассифицируем эти 18 переходов от В в соответствии с тем, какая буква предшествовала В, то получим:
Мы явно видим, что состояние, следующее за В, зависит от состояния, предшествовавшего В. Таким образом, эта последовательность не является цепью Маркова. Иногда этот факт можно описать метафорически^ говоря, что «память» системы простирается более чем на один шаг назад (ср. § 6/21).
Эта зависимость вероятности от того, что было раньше, является характерной особенностью последовательностей букв в таких языках, как английский. Какова, например, вероятность того, что за 5 будет стоять О Это во многом зависит от того, что стоит перед 5; так, после сочетания ее буква / встречается часто, а после сочетания — редко. Если бы буквы образовывали цепь Маркова, то ^ следовало бы за 5 с одинаковой частотой в обоих случаях.
