Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
237
Термин «цепь Маркова» иногда относится к конкретной траектории системы (например, к такой траектории, как в упр. 1), а иногда и к самой системе (определяемой ее матрицей), которая способна производить много траекторий. Употребление одного из этих смыслов должно определяться контекстом.
Упр. 1. Система с двумя состояниями дает протокол (50 переходов): АВАБВВАВААВАВАВАВВВВАВ ААВАВВААВАВВАВАААВАВВА АВВАВВА.
Напишите оценку ее матрицы переходных вероятностей.
Упр. 2. Используйте способ § 9/2 (с бросанием монеты) для построения различных траекторий, чтобы показать, что одна матрица может произвести много различных траекторий.
Упр. 3. С помощью таблицы случайных чисел 1 постройте цепь Маркова для двух состояний А и В согласно правилу:
Если
нынешнее состояние А
В
случайное число 0 или 1 2,3 ... 9 0, 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9
То
следующее состояние А
. в
А В
Упр. 4. (Продолжение.) Какова матрица переходных вероятностей этой цепи Маркова?
9/5. Упражнение 9/4/1 показывает, как поведение системы определяет ее матрицу. И, обратно, матрица содержит информацию о тенденциях изменения системы, хотя и не во всех подробностях. Так, предположим, что ученый (не первоначальный наблюдатель) видит матрицу переходных вероятностей насекомого
1 в Р
В 1 3 1
4 4 8
3 4 0 3 4
р 0 1 4 1
8
1 См. «Статистические таблицы» Фишера и Йейтса. — Прим. ред.
238 ГЛАВА 9. НЕПРЕКРАЩАЮЩАЯСЯ ПЕРЕДАЧА 9/6
Он может сделать вывод, что, попав в воду, насекомое не остается там, ибо №-» № имеет нулевую вероятность, но обычно выходит на берег, ибо V? В имеет наивысшую вероятность в соответствующем столбце. С берега оно, вероятно, перейдет в воду, а затем обратно на берег. Находясь под камнями, оно также стремится перейти в воду. Итак, очевидно, что оно проводит большую часть времени колеблясь между берегом и водой. Под камнями оно будет проводить незначительную часть времени. Приведенный выше протокол, который был построен с помощью таблицы случайных чисел, обнаруживает эти свойства.
Таким образом, матрица содержит информацию о вероятном поведении любой конкретной системы.
Упр. 1. Если бы в столбце Р рассматриваемой матрицы стояла 1 в нижней клетке и нули в остальных, что можно было бы заключить об образе жизни этого насекомого?
Упр. 2. Муха летает по комнате между положениями А, В, С и В со следующими переходными вероятностями:
\ А В с
А 1
2 0 0 1
3
В 1 4 1 0 1
3
С 1
4 0 1
2 1
3
в 0 0 1
2 0
Одно из положений — чересчур жаркая печка, другое — липкая бумага. Укажите эти положения. Упр. 3. Если рассматривать протокол и матрицу в упр. 9/4/1 как взаимные кодирования, то при каком направлении кодирования теряется информация?
9/6. Равновесие в цепи Маркова. Предположим теперь, что большое число таких насекомых живет в одном пруду и что поведение каждого из них независимо от поведения других. Если мы отойдем от пруда, отдельные насекомые постепенно исчезнут из вида и мы будем видеть только три больших облака, три популяции — одну
ЦЕПЬ МАРКОВА
239
на берегу, другую в воде и третью под камнями. Эти три популяции становятся теперь тремя количествами, которые могут изменяться во времени. Если в данный момент они будут равны соответственно йв> игу и йр> то можно найти их значения йв и т. д. через данный промежуток времени, рассмотрев поведение составляющих их отдельных насекомых. Так, три четверти насекомых, находившихся в воде, перейдут в В и их число прибавится в йв* в то время как оставшаяся четверть прибавится к йр. Следовательно, после этого перехода новая популяция
' 13 1
на берегу йв будет равна -^йв-\~^с1ту-\-^ ^р- Следовательно, в общем три наши популяции будут изменяться в соответствии с преобразованием (вектора с тремя составляющими).
Следует отметить как обстоятельство первостепенной важности что система
образованная тремя популяциями, детерминированна (если она достаточно велика, чтобы быть свободной от случайностей выбора), хотя поведение отдельных насекомых определяется лишь с некоторой вероятностью.
Чтобы проследить этот процесс во всех деталях, предположим, что мы начинаем эксперимент, помещая 100 насекомых под камни и наблюдая, что произойдет затем. Начальный вектор трех популяций (йв, йуг, йр) будет, следовательно, равен (0,0, 100). Какими будут эти числа на следующем шаге, зависит от капризов случайного выбора, ибо отнюдь не невозможно, чтобы все сто насекомых остались под камнями. Однако в среднем (т. е. если выводится среднее из повторных опытов со всей сотней) под камнями будет оставаться только около 12,5 насекомых, в то время как остальные перейдут на берег (также 12,5) и в воду (75). Таким образом, после первого
ТУ
в
~4 4в ~г~ ~4 ^цг + "8* ^р> ~4~ ^в ~1 4 ^р> ~4Г С1цг~^~ ~8^Р>
ї
шага наши популяции обнаружат изменение (0,0, 100) -> -> (12,5/, 75; 12,5).
Этим способом можно шаг за шагом находить средние числа трех популяций, применяя процедуру из § 3/6. Следующим состоянием окажется (60,9; 18,8; 20,3); траектория этой системы (с тремя — а не со ста — степенями свободы) показана на рис. 9/6/1.
