Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
# # # * *
Является ли полученное таким образом конкретное преобразование детерминированным или нет? (Указание: однозначно ли оно?)
Упр. 2. Какое правило должно соблюдаться для чисел, стоящих в каждом столбце матрицы переходных вероятностей?
Упр. 3. Соблюдается ли какое-нибудь правило, подобное правилу из упр. 2, в отношении чисел в каждой строке?
Упр. 4. Если преобразование, определенное в этом параграфе, начинает действовать с 4 и продолжается 10 шагов, то сколько траекторий содержит множество, определяемое таким способом?
Упр. 5. Чем кинематический график стохастического преобразования отличается от графика детерминированного преобразования?
9/3. Стохастическое преобразование есть просто обобщение детерминированного (или однозначного преобразования). Так, предположим, что матрица переходных вероятностей системы с тремя состояниями была сначала
1 А В с
А 0 0,9 0,1
В 0,9 0 0
С 0,1 од 0,9
1
У А В с
А 0 1 0
В 1 0 0
С 0 0 1
Переход от первой матрицы ко второй, хотя он и невелик (и может быть сколь угодно уменьшен), переводит систему из явно стохастического типа в систему с однозначным преобразованием
і А В С 1 В А С
того типа, который рассматривался во всей предшествующей части книги. Таким образом, однозначное детерми*
9/4
ЦЕПЬ МАРКОВА
235
нированное преобразование есть, просто особый, предельный случай стохастического преобразования. Оно есть стохастическое преобразование, в котором все вероятности сделались равными 0 или 1. Эта принципиальная одинаковость не должна заслоняться тем обстоятельством, что иногда удобно говорить о детерминированном типе, а иногда — о типах, для которых важна дробность вероятностей. Во всей части III принципиальная одинаковость этих двух типов будет играть важную роль, обусловливая единство различных типов регулирования.
Слово «стохастическое» может употребляться в двух смыслах. Оно может означать: «все типы (с постоянной матрицей переходных вероятностей), включая детерминированные как особый случай»; или оно может означать: «все типы, кроме детерминированного». Могут употребляться оба значения, но поскольку они несовместимы, надо внимательно следить за тем, чтобы контекст указывал, какое из них имеется в виду.
ЦЕПЬ МАРКОВА
9/4. Теперь, после восьми глав, мы знаем кое-что о том, как изменяется система, если ее переходы соответствуют переходам однозначного преобразования. Но как обстоит дело с поведением системы, переходы которой соответствуют переходам стохастического преобразования? Как будет выглядеть такая система, когда она действительно работает?
Предположим, что какое-то насекомое живет в мелком пруду и около него: иногда оно находится в воде (1^), иногда под камнями (Р), иногда на берегу (В). Предположим, что для каждой единицы времени существует постоянная вероятность того8 что, находясь под камнем, насекомое перейдет на берег; и то же самбе для других возможных переходов. (Мы можем допустить, если хотим, что действительное поведение насекомого определяется более мелкими деталями и событиями в окружающей среде.) Таким образом, протокольная запись положений насекомого может гласить: №В№В №Р№ВУРВ№В№РУ!?ВВ№В№Р№В№Р№В№В№ВВ№
236
ГЛАВА 9. НЕПРЕКРАЩАЮЩАЯСЯ ПЕРЕДАЧА
9/4
В№В№В№РР№Р№В№ВВВ№. Предположим для определенности, что вероятности переходов суть
•
1 в У/ Р
в 1
4 3 4 1
8
3 4 0 3 4
р 0 1 4 1
8"
Эти вероятности можно найти, если наблюдать поведение насекомого за длинные промежутки времени, а затем найти частоту, скажем, для В -> № и определить относительные частоты *, которые и являются вероятностями 2. Таблица этих вероятностей будет по существу сводкой фактического прошлого noвeдeнuяJ извлеченной из протокола.
Такая последовательность состояний, в которой для различных длинных интервалов вероятность каждого перехода одинакова, известна под названием цепи Маркова, по имени математика, который первый серьезно исследовал ее свойства 3. (Огромное значение цепей Маркова стало признаваться лишь в течение последних десяти лет или около того. В математической литературе описываются различные типы цепей Маркова и излагаются различные их характеристики. Определенный выше тип дает все, что нам требуется, и не противоречит другим определениям; одно существенное дополнение упоминается в § 9/7.)
1 Чтобы найти, скажем, относительную частоту перехода из В в ТС7, надо разделить уже найденную (абсолютную) частоту перехода В->№ на (абсолютную) частоту появления В. — Прим. ред.
2 Ср. подстрочное примечание на стр. 232. — Прим. ред.
3 См. статью А. А. Маркова «Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга», опубликованную в Известиях Физико-математического общества при Казанском университете и перепечатанную в «Избранных трудах» А. А. Маркова.
Элементарное введение в теорию цепей Маркова содержится в третьем разделе 6-го выпуска «Библиотеки математического кружка»: Дынкин Е. Б. и Успенский В. А., «Математические беседы».— Прим. ред.
9/5
ЦЕПЬ МАРКОВА
