Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Упр. 3. В другой системе подсистема Т имеет две переменные и и и и подсистема V имеет две переменные щ и и% Вся система имеет состояния (*ь *2, щ, иг) и преобразование ?\ = Мг, ?2 = и, и'\ = и\ + и\ = 1\и<1, так что Т доминирует над и. Три копии начинают с начальных состояний (0,0,0,1), (0,0,1,1) и (1,0,0,1). Каково разнообразие копий Г? Каково разнообразие копий 0?
Упр. 4. (Продолжение.) Найдите все три состояния через один шаг. Каково теперь разнообразие копий и?
8/12. Передача за второй шаг. Итак, мы видели, что за один шаг разнообразие в V может увеличиться не больше чем на количество разнообразия в Т. Но что произойдет на втором шаге? Т может все еще иметь некоторое разнообразие; не перейдет ли и оно в [/, еще более увеличивая его разнообразие?
Возьмем простой пример. Предположим, что каждый элемент всего множества копий находится в одном из шести состояний (Ть ик), (Ть ?/,), (Ть им), (7), Цк/. (тэ'у Уг)> (7), иш)> так что все Т находятся либо в Ти либо в Т$у а все 0 находятся либо в ?4, либо в ?/г, либо в Ц-т- Система как целое—абсолютна. Поэтому все копии, находящиеся, скажем, в (Т{9 ик), будут при пере
218
ГЛАВА 8. ПЕРЕДАЧА РАЗНООБРАЗИЯ
8/13
ходах от состояния к состоянию изменяться одинаково, принимая различные состояния совместно. То же самое относится и к копиям, находящимся в остальных пяти состояниях. Отсюда следует, что разнообразие состояний множества не может превышать 6, и это независимо от количества копий, входящих во множество; независимо от числа состояний в Г и (/; независимо от того, как долго могут продолжаться изменения. А отсюда следует, что разнообразие копий и никогда не может превышать шести (/-состояний. Таким образом, коль скоро разнообразие в и возросло на количество разнообразия в Г, всякое дальнейшее возрастание должно прекратиться. Если все возрастание произошло за один шаг (как выше), то на втором шаге разнообразие больше не возрастает, хотя Т и может еще иметь некоторое разнообразие *.
Следует отметить, какую важную роль в этом доказательстве играет спаривание состояний системы (/ с состояниями системы Т, т. е. выяснение того, какое значение Т и какое значение и встречаются в одной и той же машине. Очевидно, что простого знания количества разнообразия в Т и в 0 недостаточно для предсказания того, как они будут изменяться.
8/13. Передача по каналу. Теперь мы можем рассмотреть, каким образом разнообразие, или информация, пере
1 Важно подчеркнуть следующий общий принцип: если после первого шага разнообразие в и достигло максимально возможного значения (не превосходящего в логарифмической мере суммы начальных разнообразий Т и ?/), то оно не может увеличиться после второго шага; если же оно не достигло максимума, то после второго шага оно еще может увеличиться. То, что после второго шага разнообразие может увеличиться, показывает следующий пример. Пусть система как целое имеет состояния и) и преобразование
{О, если I не делится на 3 и четно, 1, если / не делится на 3 и нечётно, остатку от деления і/З на 3, если Ї делится на 3, так что Ї доминирует над и. Пусть эта система начинает с состояний (2,—), (5,—), (8,—), (11,—), (14,-—). Черточки показывают, что нам безразличны начальные значения и. После первого шага состояния системы будут таковы:
(3.0) (6,1) (9,0) (12, 1) (15,0); после второго шага —
(4.1) (7,2) (10,0) (13,1) (16,2).
Таким образом, разнообразие и после первого шага равно двум состояниям, а после второго шага — трем состояниям.— Прим. ред*
8/13
ПЕРЕДАЧА ОТ СИСТЕМЫ К СИСТЕМЕ
219
дается через малый промежуточный преобразователь — «канал»; слово «малый» относится здесь к числу его возможных состояний. Предположим, что два больших преобразователя С} и 5 связаны посредством малого преобразователя так что (2 доминирует над і?, а Я доминирует над 5:
Как обычно, мы исходим из наличия множества копий всей этой тройной системы. Пусть г — число возможных состояний 7?. Пусть log2 г равен р. Допустим, что в начальном состоянии копии О имеют разнообразие, значительно превышающее г состояний, и что копии К и 5 для простоты вообще не имеют разнообразия. (Если бы они имели какое-то разнообразие, то, как показано в § 8/11, новое разнообразие, получаемое ими от С}, просто прибавлялось бы логарифмически к тому, что они уже имели.)
Применение § 8/11 к /? и 5 показывает, что на первом шаге разнообразие копий 5 совсем не возрастает. Таким образом, если первоначально три разнообразия, иЗхМе-ренные логарифмически, равнялись Л(,0 и 0, то после первого шага они будут самое большее р и 0.
На следующем шаге разнообразие /? уже не может увеличиться (согласно § 8/12) 1, но разнообразие 5 может увеличиться за счет получаемого от /? (что легко проверить на конкретном примере; см. упр. 2). Таким образом, после второго шага разнообразия могут возрасти до Ы9 р, р. Аналогично после третьего шага они могут возрасти до Ы, р, 2р и т. д. Таким образом, разнообразие копий 5 может возрастать со временем столь же быстро, как и члены ряда 0, р, 2р, Зр, ... , но не быстрее. Теперь правило становится совсем очевидным: преобразователь,
