Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Упр. 9. Если группа крови ребенка О и группа крови его матери О, каково разнообразие групп крови его возможных отцов?
7/7. Следует отметить, что многие упражнения включали нахождение произведений и степеней. Такие вычисления часто облегчаются использованием логарифмов. Предполагается, что читателю известны их основные свойства; но одну формулу мы приведем для ссылок. Если у нас имеются только таблицы логарифмов по основанию а, а мы хотим найти логарифм какого-нибудь числа N по основанию 6, то
В частности, \og2 N = 3,322 logio N.
Слово разнообразие, в применении к множеству различимых элементов, будет употребляться в двух смыслах: 1) как число различных элементов; 2) как логарифм этого числа по основанию 2. Контекст Каждый раз будет указывать предполагаемый смысл. Когда разнообразие измеряется в логарифмической форме, единицей ее является «бит» («bit») — сокращение от «BInary digiT» («двоичный разряд»). Так, разнообразие полов равно 1 биту, а разнообразие 52 игральных карт равно 5,7 бита, так как log2 52 = 3,322 • logi0 52 = 3,322 -1,7160 = 5,7, Основным преимуществом этого способа подсчета является то, что опершщи с умножением могут теперь выполняться простом сложением. Так, в ушр.. 7/6/2 фермер
12* •
180 ГЛАВА 7. КОЛИЧЕСТВО РАЗНООБРАЗИЯ 7/7
может различать разнообразие в 3 бита, его жена — разнообразие в 1 бит, а вместе они различают разнообразие в 3 + 1 бит, т. е. в 4 бита.
Сказать, что множество не имеет «никакого» разнообразия, что все его элементы — одного типа, значит по существу измерить его логарифмически; ведь логарифм единицы есть нуль.
Упр. 1. Какое разнообразие бактерий в битах отличает каждое вещество в упр. 7/6/4?
Упр. 2. В упр. 7/6/5: (I) какое разнообразие в битах различается каждой процедурой? (II) чему равно в битах разнообразие двух миллиардов различимых индивидов?
Упр. 3. Чему равно в битах разнообразие 26 букв английского алфавита?
Упр. 4 (Продолжение.) Чему равно в битах разнообразие комбинаций из пяти английских букв (не обязательно образующих слово)? Проверьте ответ, найдя сначала число таких комбинаций и только затем их разнообразие.
Упр. 5. На вопрос можно ответить только «да» или «нет». Найдите: (I) каково разнообразие ответа; (II) двадцати таких ответов, независимых "друг от друга.
Упр. 6. (Продолжение.) Сколько объектов может быть различено двадцатью вопросами, если на каждый можно отвечать только «да» или «нет»? . Упр. 7. Рассматривается замкнутое однозначное преобразование шести состояний
I a b с d е f \ ? ? ? ? ? ?'
где каждый вопросительный знак должен быть заменен буквой. Если в других отношениях замены не ограничены, каково разнообразие (логарифмическое) множества всех таких возможных преобразований?
Упр. 8. (Продолжение.) Каково разнообразие, если замкнутое преобразование имеет п состояний?
Упр. 9. Если английский язык имеет разнообразие в 10 битов на слово, то какую емкость запасания имеет 10-минутная речь в граммофонной записи? Скорость речи принимается равной 120 словам в минуту.
Упр. 10. (Продолжение.) Сравните эту емкость с емкостью печатной страницы газеты (приблизительно).
Упр. 11. (Продолжение.) Чтение брошюры вслух занимает 10 минут. Сравните ее разнообразие с разнообразием упомянутой граммофонной записи.
Упр. 12. Какое множество имеется в виду в предыдущем упражнении?
Упр. 13. Может ли чисто отрицательное событие — незажигание света, невозбуждение нейрона, неполучение телеграммы — использоваться для увеличения разнообразия?
7/3
ОГРАНИЧЕНИЯ РАЗНООБРАЗИЯ
181
ОГРАНИЧЕНИЯ РАЗНООБРАЗИЯ
7/8. В высшей степени важным понятием, которым мы позже будем много заниматься, является понятие ограничения разнообразия. Ограничение разнообразия есть отношение между двумя множествами, которое возникает, когда разнообразие, существующее при одном условии, меньше, чем разнообразие, существующее при другом условии. Например, разнообразие человеческих полов равно 1 биту. Но если в данную школу принимаются только мальчики, то разнообразие полов внутри школы равно нулю; так как 0 меньше 1, налицо ограничение разнообразия.
Другим общеизвестным примером могут служить огни английских светофоров, которые имеют по три лампы и проходят последовательность состояний (где «+»* означает «горит», а «О» означает «не горит»):
(1) (2) (3) (4) 0)
Красный + + 0 0 +
Желтый 0 + 0 + 0
Зеленый 0 0 + 0 0
Здесь используются четыре комбинации. Следует заметить, что в различные моменты времени красный свет может как гореть, так и не гореть; так же и желтый, и зеленый. Следовательно, если три лампы изменяют свои состояния независимо, то может появиться восемь комбинаций. В действительности же используется только четыре; поскольку четыре меньше восьми, налицо ограничение разнообразия.
7/9. Ограничение разнообразия может быть слабым или сильным. Пусть, например, взвод солдат должен быгь выстроен в одну шеренгу, и пусть «независимость» означает, что они могут выстроиться в любом порядке. На разнообразие порядков построения могут быть наложены различные ограничения, отличающиеся по степени вызываемого ими уменьшения возможностей. Так, если отдан приказ, согласно которому не должны стоять рядом два человека, день рождения которых приходится на одно и тр же число, то ограничение разнообразия-будет слабым, ибо из всех возможных построений исключаются лишь
