Введение в кибернетику - Эшби У.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Сеть А на рис 6/7/1, в которой х и у соединены последовательно, обнаружит требуемое поведение, но так же будет вести себя сеть В, и сеть С, и бесконечное число других сетей.
Поведение не определяет однозначно связей.
Упр. (Упр. 6/5/4, продолжение.) Выведите диаграмму непосредственных воздействий при входе, зафиксированном в а. (Указание: см. § 4/13.)
Рис. 6/7/1.
ИЗОМОРФНЫЕ МАШИНЫ
6/8. Исследование «черного ящика», таким образом, может дать экспериментатору информацию лишь до определенного предела; превысить этот предел при заданных входах и выходах невозможно. Сколько именно информации может быть получено, будет рассмотрено в § 13/15 (особенно в последнем упражнении). Здесь достаточно отметить, что каноническое представление определяет или задает механизм с «точностью до изоморфизма».
«Изоморфный», грубо говоря, означает «подобный > по форме». Это весьма широкое понятие, имеющее первостепенную важность для всякого, кто хочет точно исследовать вопросы, в которых играет роль «форма». Рассмотрим сначала несколько примеров просто для того, чтобы проиллюстрировать основные идеи.
138
ГЛАВА 6. ЧЕРНЫЙ ЯЩИК
6/8
Фотографический негатив и отпечаток с него изоморфны, поскольку речь идет о форме рисунка. Квадраты на негативе выглядят квадратами на отпечатке, круги выглядят кругами, параллельные линии остаются параллельными линиями. Таким образом, некоторые отношения между частями, существующие на негативе, появляются на отпечатке в виде тех же самых отношений, хотя в том, что касается освещенности, они выглядят теперь иначе и, более того, прямо противоположно. Таким образом, операция изменения негатива в отпечаток оставляет эти отношения без изменения (ср. § 5/2).
Карта и местность, которую она изображает, изоморфны (если карта точна!). Отношения на местности, например то, что города Л, В и С образуют равносторонний треугольник, остаются неизменными на карте, где точки, изображающие Л, В и С, также образуют равносторонний треугольник.
Форма не обязательно должна восприниматься зрительно. Если бросить камень вертикально вверх с начальной скоростью 15 м/сек, то будет существовать изоморфизм между множеством точек в воздухе, проходимых камнем, который в момент I находится на высоте /г, и множеством точек на графике, удовлетворяющих уравнению
у=\Ъх — 4,9л:2.
Линии, по которым воздух (на дозвуковых скоростях) обтекает профиль крыла, имеют форму, тождественную с формой линий, по- которым электрический ток в проводящей жидкости обтекает непроводник того же контура, что и крыло. Две эти формы одинаковы, хотя их физические основы различны.
Другой пример изоморфизма стоит рассмотреть подробнее. На рис. 6/8/1 изображены две динамические .системы, каждая оо входом и выходом. В верхней системе входом является левая ось /; она может быть повернута в любое положение, показанное на циферблате и. Пружиной 5 она связана с маховиком Му жестко связанным с выходным валом О. Степень поворота О показывается на циферблате У, который является выходом вала. Маховик М погружен в корытце с жидкостью благодаря
6/9
ИЗОМОРФНЫЕ МАШИНЫ
139
чему к колесу прикладывается сила тре-ния, пропорциональная скорости колеса. Если теперь при заданных начальных условиях вход и будет проходить определенную последовательность значений, то выход V также пройдет определенную последовательность значений, зависящую от начального состояния выхода г>, от скорости изменения выхода V в начальный момент и от последовательности состояний входа и.
Рис 6/8/1.
Нижняя система — электрическая. Входом ее служит потенциометр или другой прибор /, создающий напряжение, показанное на шкале х. К нему последовательно присоединена индуктивность Ь, сопротивление Я и емкость С. Через Р обозначен электрический счетчик (какой устанавливается в жилых квартирах), отмечающий общее количество прошедшего по нему тока. Это количество показывается на шкале у, которая является вы* ходом счетчика.
Если теперь подобрать значения Ь, II и С так, чтобы они соответствовали упругости пружины, инерции маховика и трению в /** (хотя и не в этом порядке), то обе системы могут обнаружить замечательное функциональное тождество. Пусть сначала они обе находятся в состоянии покоя. Приложим к и любую входную
140
ГЛАВА б. ЧЕРНЫЙ ЯЩИК
6/8
последовательность значений, сколь угодно длинную и произвольную, и получим в V выходную последовательность равной длины; если та же самая последовательность значений задана в х, то выход в у в течение всей своей длительности будет тождествен выходу в V. Попробуем приложить к и другую последовательность значений и запишем то, что появится в V] тот же самый вход, приложенный к х, даст в у копию выхода в о. Закроем центральные части механизмов — и обе машины невозможно будет различить даже при бесконечном числе испытаний. Таким образом, машины могут обнаруживать глубочайшее сходство в поведении, будучи с других точек зрения совершенно различны.
Но это еще не все. Математикам хорошо известны уравнения типа
с помощью которых — если дан график, показывающий изменение ы) со временем (/), — можно найти изменения 2, вызываемые изменениями т. Ясно, что т можно рассматривать как «вход» уравнения, а г — как его «выход». Если теперь коэффициентам а, Ь п с дать значения, подходящим образом связанные с Ь, /?, 5 и т. д., то зависимость между т и г становится тождественной зависимости между и и V, как и зависимости между х и у. Все три системы изоморфны.
