Химия твердого тела. Теория и приложения: В 2-х ч. Ч. 1 - Вест А.
ISBN 5-03-000056-9
Скачать (прямая ссылка):
6.1.1.2. Точечная группа тт2. Эта точечная группа ромбической кристаллографической системы содержит две плоскости зеркального отражения, расположенные под прямым углом друг к другу, и ось второго порядка, проходящую вдоль линии пересечения этих плоскостей. На рис. 6.1,6 (справа) ось второго порядка перпендикулярна плоскости чертежа. Плоскости зеркального отражения изображены жирными линиями, располо
16—1169
242
6. Точечные группы, пространственные группы
женными горизонтально и вертикально (фактически эти линии— проекция плоскостей зеркального отражения на плоскость рисунка). Система эквивалентных позиций для данной •точечной группы также имеет кратность, равную четырем. Точки, входящие в эту систему, расположены на одинаковой высоте выше и ниже плоскости рисунка (рис. 6.1,6, слева). Если исходную точку обозначить цифрой /, то поворот вокруг оси второго порядка преобразует точку 1 в точку 3. При отражении в вертикальной плоскости симметрии образуются точки 2 (из точки 1) и 4 (из точки 3). Точки 1 и 4, а также 2 и 3 связаны другим элементом симметрии — горизонтальной плоскостью зеркального отражения. При отражении в этой плоскости симметрии кратность системы эквивалентных позиций увеличивается. Как и в предыдущем случае, третий элемент симметрии не является независимым, а порождается двумя другими элементами симметрии. В качестве независимых элементов симметрии выбираются два любых элемента симмметрии, так как они порождают третий элемент симметрии.
6.1.1.3. Точечная группа ттт. Эта точечная группа ромбической кристаллографической системы содержит в качестве основных элементов симметрии тря взаимно перпендикулярные плоскости зеркального отражения и, следовательно, три взаимно перпендикулярные поворотные оси второго порядка. (Заметим, что обратное утверждение неверно: наличие трех поворотных осей в точечной группе 222 не означает присутствие трех плоскостей симметрии). Эти элементы симметрии изображены на рис. 6.1,6 (справа). Обозначение элементов симметрии такое же, как и на предыдущих рисунках. Новый символ — жирная окружность — означает наличие плоскости зеркального отражения, расположенной в плоскости чертежа.
В систему эквивалентных позиций точечной группы ттт входят восемь точек: четыре из них находятся на одинаковой высоте над плоскостью рисунка, четыре другие — на такой же высоте за плоскостью рисунка (рис. 6.1,6, слева).'Эта система эквивалентных позиций возникает следующим образом: отражение в двух плоскостях симметрии приводит к появлению четырех эквивалентных точек (как в случае, изображенном на рис. 6.1,6, слева для точечной группы тт2), а отражение в плоскости зеркального отражения, расположенной в плоскости рисунка, приводит к возникновению еще четырех точек (рис. 6.1, в, слева).
Для ромбической кристаллографической системы возможны лишь три точечные группы. Другие комбинации элементов симметрии не приводят к появлению новых по сравнению с перечисленными точечных групп. Например, легко показать, что
6.1. Кристаллографические точечные группы
243
комбинация 22т дает ту же систему эквивалентных позиций, что и ттт.
Из трех рассмотренных точечных групп ромбической системы лишь группа ттт характеризуется наличием центра симметрии 1. На рис. 6.3 показано наличие центра симметрии в точечной группе 1 триклинной кристаллографической системы. Инверсия в точке, отвечающей центру круга, преобразует позицию / в позицию 2 (и наоборот). Каждой позиции в точечной группе ттт соответствует эквивалентная позиция, симметричная данной относительно центра симметрии. В точечных группах 222 и тт2 позиции, симметричные относительно какой-либо точки, отсутствуют. Особенности центросимметричных структур обсуждаются в разд 6.2.
Рис. 6.3. Точечная группа 1 триклинной кристаллографической системы с центром симметрии,
6.1.1.4. Точечная группа 32. Рассмотрим пример точечной группы тригоиалы-юй кристаллографической системы, которая содержит одну ось третьего порядка (рис. 6.4). На рис. 6.4,6 эта ось ориентирована перпендикулярно плоскости рисунка. В эту точечную группу входят также три оси второго порядка (располо>кецные в плоскости рисунка) под углом 60° друг к другу. Фактически лишь одна из этих осей второго порядка — независимый элемент симметрии, поэтому данная точечная группа обозначается символом 32. Чтобы отыскать систему эквивалентных позиций в этой точечной группе, начнем рассмотрение с точки 1. Повернем изображение на рис. 6.4 два раза на угол 120° вокруг оси симметрии третьего порядка. В результате получим еще две эквивалентные точки — Зяб. Теперь осуществим поворот вокруг оси второго порядка (например, оси хх' на рис. 6.4, б). Тогда в систему эквивалентных позиций войдут еще три точки: 1—^4, 3—к2, 5—>-6. Оси уу' и zz' возникают автоматически в связи с наличием осей третьего и второго {хх') порядка. Так, ось уу' связывает позиции 1 я 6, 2 и 5, 3 к 4.
Из 32 различных кристаллографических точечных групп 27 не относятся к кубической кристаллографической системе. Пять из этих точечных групп рассмотрены выше, для оставшихся 22 можно предложить совершенно аналогичные обсуждения. Основные трудности при этом связаны с определением взаимной ориентации различных элементов симметрии в них. Можно сформулировать следующие правила выбора направлений осей и плоскостей симметрии. В моноклинной, гексагональной, триклинной и тетрагональной кристаллографических системах особые оси располагаются перпендикулярно плоскости рисунка
