Химия твердого тела. Теория и приложения: В 2-х ч. Ч. 1 - Вест А.
ISBN 5-03-000056-9
Скачать (прямая ссылка):
202
5. Дифракция рентгеновских лучей
Рассмотрим отражение рентгеновских лучей от плоскостей (200) той же элементарной ячейки (рис. 5.38, б). Чтобы на рентгенограмме возникали рефлексы 200, лучи, рассеянные атомами А и В, должны распространяться в одной фазе, т. е. фазовый сдвиг должен быть равен 2л. Как отмечалось выше, при отражении от плоскостей (100) фазовый сдвиг между волнами, отраженными от А и В, равен я. (Согласно закону Брэгга, если значение й уменьшилось вдвое, то БШО должен возрасти в два раза, т. е. 02оо>'0юо.) Сравнивая условия возникновения рефлексов 100 и 200, можно сделать вывод о том, что уменьшение межплоскостного расстояния й в два раза связано с увеличением в два раза фазового сдвига между волнами, отраженными парой атомов (например, атомами А и В). Таким образом, при отражении от плоскостей (200) фазовый сдвиг, обусловленный отражением от А и С, равен {2х-2%).
В ортогональной ячейке расстояния 4 между соседними плоскостями семейства (А00) равны (1/А)а. Фазовый сдвиг б, обусловленный отражением от А и С, в общем случае равен
8=2лЛ* (5.10)
Таким образом, фазовый сдвиг между волнами, отраженными от двух атомов, зависит от двух факторов: индексов Миллера соответствующих рефлексов и координат атомов, выраженных в долях периодов элементарной ячейки. Приведенные выше рассуждения можно легко распространить на случай трехмерной решетки. При отражении от плоскостей семейства (А/г/) фазовый сдвиг б между волнами, отраженными от двух атомов, один из которых находится в начале координат, а второй — в точке с координатами (Х, У, Г), равен
8 = 2я(/и-|-&г/ + /г) (5.11)
Эта важная формула пригодна для любых элементарных ячеек. Попытаемся применить ее к гранецентрированной кубической ячейке у-Ее. Атомы железа расположены здесь в вершинах куба и в центрах граней, т. е. имеют следующие координаты:
Подставив координаты атомов в выражение для б [уравнение ,(5.11)], имеем
0; п(п-\- /г); к{Н + 1)\ +
Как зависят фазовые сдвиги от индексов Миллера? Если все к, к и I либо четные, либо нечетные, то фазы волн, отраженных от каждого из атомов, смещены на угол, пропорциональный 2хс.
5.5. Интенсивность рефлексов
203
Таким образом, все эти волны распространяются в одной фазе, и на рентгенограмме наблюдаются рефлексы, имеющие либо четные, либо нечетные индексы.
Если же, например, h — нечетное, a k и / — четные, то имеем следующие фазовые сдвиги:
0, (2/1 + 1) я, (2/г + 1) я, 2/гя
Волны, отраженные от первого и последнего атомов, находятся в противофазе с волнами, отраженными от второго и третьего атомов. Таким образом, отраженные лучи гасят друг друга. Структура y-Fe—простой пример гранецентрированной кубической решетки, в которой атомы железа занимают узлы решетки. Приведенный пример с ячейкой у-Ее фактически является проверкой правил систематического погасания рефлексов (табл. 5.5). Читатель может самостоятельно проверить справедливость условия систематического погасания в объемноцентрированиой кубической структуре, рассмотрев, например, фазы волн, рассеянных атомами в структуре а-Ее.
Вторым важным фактором, влияющим на интенсивность рефлексов на рентгенограммах, является амплитуда волны, рассеянной каждым атомом, т. е. атомная функция рассеяния f. В разд. 5.5.1 уже говорилось, что f пропорциональна атомному номеру Z, а также уменьшается по мере увеличения брэгговско-го угла 0.
Применим сказанное к случаю рассеяния рентгеновских лучей данным атомом элементарной ячейки. Рассеянная атомом / волна, характеризующаяся амплитудой // и фазой о/, представляет собой синусоидальную волну:
FJ=*fjsln(ci)t—o'j) (5.12)
Волны, рассеянные каждым атомом элементарной ячейки, имеют одинаковую угловую частоту со, но разные значения / и б. Суммарная интенсивность рассеянных лучей получается сложением отдельных синусоидальных волн. Математически сложение воли можно рассматривать как сложение векторов в плоскости комплексных чисел. Амплитуда и фаза волны, рассеянной атомом /, определяется комплексным числом J7/:
Fj = fj (cos б j + i sin bj) (5.13)
или
Fj-fje^ (5.14)
Интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды волны, т. е.
/ос/а, (б. 16)
204
5, Дифракция рентгеновских лучей
Эту формулу можно получить путем умножения Fj на сопряженное с ним комплексное число:
/ОС (fje^ifje-^)
откуда
/ос//
или в другом виде: [fr (COS 6; + / sin 6;)] [fj (COS 8j -i sin 6j)] = // (COS2 6; 4- sin2 6j) = //
Подставляя в уравнения (5.13) и (5.14) выражения для б [уравнение (5.11)], имеем
Fj = fj ехр 2ш (hx j + ky-j -f lZj)
Fj = fj [cos 2л (/ц> + kyj 4- fej) +1 sin 2я (hxj + kys 4- lzj)] (5.16)
Записав эти формулы, можно легко провести суммирование Fj для всех атомов / в элементарной ячейке. Таким образом получают выражение для так называемой структурной амплитуды, Fhki'.
1=\—п
^w-Sf/Ccoso^^slnoy) (5.17)
или
Интенсивность рефлекса 1нни отвечающего отражению от плоскостей (Ш) кристалла, пропорциональна структурному фактору Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., который имеет следующий вид:
