Химия твердого тела. Теория и приложения: В 2-х ч. Ч. 1 - Вест А.
ISBN 5-03-000056-9
Скачать (прямая ссылка):
252
6. Точечные группы, пространственные группы
симметрии являются поворотная ось второго порядка е, параллельная Ь и пересекающая ось х в точке У2, а ось z в точке О, и две винтовые оси второго порядка (/ и g), также параллельные b и пересекающие ось х в точках У4 и 3Д и ось z в точке 0. Винтовые оси, расположенные в плоскости рисунка, обозначены полустрелками.
Кратность эквивалентных позиций в пространственной группе С2 равна четырем. Проследим, как возникает система эквивалентных позиций. Выберем в качестве примера общей позиции точку /. Позиции 1\ I" и V" — эквивалентные ей позиции в соседних элементарных ячейках. Поскольку ячейка базоцеит-рирована, то внутри нее возникает еще одна эквивалентная позиция 2, которая получается из позиции 1 путем ее перемещения на (Уг, Уг, 0). При повороте позиции 1 вокруг оси второго порядка d на угол 180° возникает позиция 3'. Поскольку координата z позиции / положительна, то координата г позиции 3' должна быть отрицательной. Аналогично позиции 2 и 4' преобразуются друг в друга путем поворота вокруг той же оси второго порядка. Позиции 4 и 4' — идентичные позиции в соседних элементарных ячейках. Позиция 4 возникает также из Зг в результате того, что ячейка базоцентрированная.
Позиции / и 3, 2 и 4, 1'" и 3' и др. связаны порожденной поворотной осью второго порядка е. Винтовая ось второго порядка [ связывает, например, позиции / и 4: под действием трансляции позиция 1 перемещается на половину периода решетки вдоль оси у (при этом координаты х и z этой точки не меняются) и попадает в позицию, отмеченную штриховым кружком, а затем при повороте на 180° вокруг оси, параллельной оси у и пересекающей ось х в точке У4, а ось z в точке 0, попадает в позицию 4. Повторение этой симметрической операции преобразует позицию 4 в позицию Г, которая эквивалентна исходной позиции 1. Аналогично связаны позиции 3', 2 и 3"; 3, 2' и 3"'\ 4' и /" и т. д. Винтовая ось g связывает в свою очередь позиции 3, 2 и 3"' и т. д.
Позиции 1—4 имеют следующие координаты: х, у, г; x-\-lj2, У+Ч2, z; х, у, —z; ]/2—х, Ч2 + У, —z. Поскольку позиции 3 и 4 находятся за плоскостью рисунка, они не попадают в выбранную элементарную ячейку. Внутри данной элементарной ячейки позиции, эквивалентные 3 и 4, имеют координаты: х, у, г и Уг—х, Уз-Ь^ z. При этом вторая группа эквивалентных позиций связана с первой условием центрировки ячейки (т. е. к координатам позиций первой группы следует добавить (Уг, 72,0), чтобы получить координаты второй группы). В справочниках (например, в «Интернациональных таблицах») обычно приводятся координаты позиций лишь первой группы с указанием на то, что координаты остальных эквивалентных позиций полу
6.2. Пространственные группы симметрии
253
чаются из условий центрировки. Это значительно сокращает и упрощает обозначения эквивалентных позиций в более сложных пространственных группах высшей категории.
Кратность общих позиций пространственной группы С2 равна четырем. Если эти позиции находятся на поворотных осях второго порядка, кратность их уменьшается до двух, и они становятся частными позициями. Так, например, если х=г = 0, то две позиции имеют координаты 0, у, 0 и 72, #+72, 0. Вторая группа частных позиций появляется при х = 0, г=У2- (Читатель может проверить самостоятельно, что существует еще одна ось второго порядка, параллельная Ь и пересекающая ось х в точке 0, а ось г в точке У2. Эта ось не изображена на рис. 6.10, Она находится на с/2 выше оси й.)
Ранее уже указывалось, что центрировка решетки или наличие открытых элементов симметрии ведет к систематическому погасанию рефлексов на рентгенограммах. Для кристаллов пространственной группы С2 на рентгенограммах присутствуют лишь такие рефлексы, индексы Ыг1 которых удовлетворяют условию /г-|-/г = 2«, поскольку решетка базоцентрированная. Наличие винтовой оси 2ь параллельной Ъ, налагает следующее условие появления рефлексов 0/г0: к = 2п. Последнее условие,, вообще говоря, является также следствием базоцентрировагшо-сти решетки, так как в том случае, если /г = / = 0, условие •\-k-2n сводится к условию к = 2п.
6.2.3. Моноклинная группа С2/т
Комплекс элементов симметрии и система эквивалентных позиций данной пространственной группы приведена на рис, 6.11. Эта пространственная группа также характеризуется базо-центрированной решеткой (С), но в отличие от предыдущего примера в число элементов симметрии этой группы входит плоскость зеркального отражения, перпендикулярная (/) оси второго порядка. Согласно принятой договоренности, ось второго порядка расположена параллельно Ь, и, следовательно, плоскость зеркального отражения — это плоскость хг. В элементарной ячейке имеются две плоскости зеркального отражения: одна проходит через начало координат, другая сдвинута вдоль оси у на расстояние Ь/2. На рис. 6.11 эти плоскости • изображены жирными вертикалями. Как и в случае пространственной группы С2, в число элементов симметрии пространственной группы С2/т входят две поворотные оси второго порядка, параллельные Ь и пересекающие а в точках 0 и '/г, и две винтовые оси второго порядка 2\, также параллельные Ь, но пересекающие а в точках 74 и 3Д. Все эти оси 2 и 21 расположены в плоскости ху, т. е. с = 0. Еще одна группа осей симметрии распо
