Химия твердого тела. Теория и приложения: В 2-х ч. Ч. 1 - Вест А.
ISBN 5-03-000056-9
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим прежде всего инверсию в центре симметрии t, расположенном в начале координат. Точка 1 при такой инверсии преобразуется в точку 2. Отрицательный знак при цифре 2 означает отрицательное значение координаты г, а запятая в крул<ке отражает тот факт, что позиция 2 энантиомериа относительно позиции 1. Операция отражения или инверсии состоит в преобразовании левой фигуры в правую. На рис. 6.9 это показано на примере двух тетраэдров, которые расположены в пространстве таким образом, что могут преобразовываться один в другой путем инверсии в центре симметрии. Таким образом, несмотря на то, что отдельный тетраэдр не имеет центра симметрии, группы тетраэдров могут иметь центр симметрии. Позиции 2\ 2" и 2'" на рис. 6.8 возникают из позиции 2, так как это эквивалентные позиции в соседних элементарных ячейках.
Следующий этап состоит в определении координат эквивалентных позиций. Координаты х, у, г выражаются в долях соответствующих периодов решетки и обозначают расстояния от данной позиции до соответствующей оси. Пусть позиция 1 имеет координаты х, у, г. Тогда координаты позиции 2: —х, —у, —г. Координаты позиции 2": 1-х, 1—у, —г и т. д. Если какая-либо позиция находится вне рассматриваемой элементарной ячейки, то эквивалентную ей позицию можно найти и внутри рассматриваемой ячейки. Это обычно делают путем добавления или вычитания 1 от одной или нескольких координат данной позиции. Позиция 2" расположена вне ячейки, так как ее координата г отрицательна. Эквивалентная ей позиция внутри рассматриваемой ячейки получается путем перемещения данной ячейки в направлении г. Таким образом, координаты эквивалентной позиции внутри данной элементарной ячейки запишутся следующим образом: 1—х, 1—у, 1—г. Более кратко эти координаты можно записать в виде х, у, г. Итак, кратность эквивалентных позиций в элементарной ячейке пространственной группы РТ
250
6. Точечные группы, пространственные группы
равна двум. Эквивалентные точки имеют координаты х, у, г (позиция 1) ях,у,х (на с выше позиции 2").
Для получения системы эквивалентных позиций элементарной ячейки пространственной группы Р1 необходимо наличие лишь одного центра симметрии. Остальные центры симметрии порождаются данным центром симметрии. Например, центр симметрии в точке и возникает потому, что такие позиции, как 1 и 2"', 2 и V" и др. симметричны относительно точки и. В этом
Рис. 6.9. Два тетраэдра, симметричные относительно центра симметрии.
можно убедиться, сравнив координаты всех четырех точек или обратив внимание на положение этих точек на рис. 6.8. Так, позиции 2"' и / находятся на одной прямой, проходящей через точку и по разные стороны и на одинаковом расстоянии от этой точки.
Позиции х, у, г и х, у, г называются общими позициями. Общей позицией называют любую позицию, для которой справедливо соотношение 0<х, у, г<1. В некоторых случаях позиции х, у, 2 и х, у, г совпадают друг с другом, например если х=у = г=Ч2- В таком случае кратность эквивалентных позиций равна единице. Эти позиции называют частными. Частные позиции в пространственной группе Р1—это такие общие позиции, которые расположены в центрах симметрии. Поэтому координаты частных позиций: (0, 0, 0); ('/г, 0, 0); (0, 7г, 0);
(0, 0, У2), (Ч2, 72, 0); (72, 0, 72); (0, 7а, 72); (72, Ч*, 72). Они
соответствуют вершинам, центрам ребер, граней и центру элементарной ячейки.
6.2. Пространственные группы симметрии
251
6.2.2. Моноклинная группа С2
Согласно принятой договоренности об обозначении особых осей второго порядка в моноклинных пространственных группах, в качестве такой оси обычно принимают ось Ь. К сожалению, такой выбор не соответствует ситуации в тетрагональной, тригональной и гексагональной ячейках, где в качестве особой оси принята ось с. Однако для моноклинной ячейки такой подход настолько общепринят, что его вряд ли можно изменить. Итак, если ось второго порядка совпадает с осью Ь, то проекция элементарной ячейки на плоскость ху представляет собой
а 4'
о-
г' о
2' з"
о-
о-
о
/ 1 1
о- о
3 о
о- 2 о-
о о
ось 2, у
ось 2 у
Рис. 6.10. Пространственная группа С2 моноклинной кристаллографической системы. Координаты эквивалентных позиций: 0, 0, 0: х, у, г; х, у, г; 1к Ч2, 0: х+Ч2, у+Чь г; Ч2~х, Чг+У, г.
прямоугольник (так как у=90°), который изображен на рис. 6.10. Поскольку |3=7^90°, то ось г расположена не перпендикулярно плоскости рисунка, а наклонно.
Моноклинная базоцентрированная решетка пространственной группы С2 характеризуется наличием узлов решетки в начале координат (координаты 0, 0, 0) и в центре граней, ограниченных ребрами а и Ь (координаты У2, 7г, 0). Поэтому любой позиции с координатами х, у, г в данной пространственной группе соответствует позиция с координатами х-\-112, У+Ч2, % (т. е. (хг у, г)-\-(1/2, Ч2, 0)). Изображение такой центрировки отсутствует на рис. 6.10,6. Этот случай изображен только на рис. 6.10, а. Порождающим элементом симметрии в пространственной группе С2 выступает поворотная ось второго порядка й, совпадающая с Ъ (т. е. при х=0, г = 0) и расположенная в плоскости рисунка (обозначена стрелкой). Другие элементы симметрии возникают в результате сочетания поворота вокруг оси второго порядка и центрировки ячейки. Этими элементами
