Химия твердого тела. Теория и приложения: В 2-х ч. Ч. 2 - Вест А.
ISBN 5-03-000071-2
Скачать (прямая ссылка):
ХБ = а/И
Пусть точка Z — узел обратной решетки, отвечающий семейству плоскостей Л/г/. Тогда отрезок прямой XI перпендикулярен плоскостям Ш, а его длина равна \\&\
хг = \/й
В прямоугольном треугольнике ХУ1 (/_ХУ2=90°) катет ХУ равен
ХУ = XI соэ ф = —г соэ ф
298
Приложение
Величину cos ф можно определить из треугольника XST:
cos ф XT/XS = d/(a[h)
Поэтому
XY
l/d [d/(afh)] = h/a
Поскольку для семейства плоскостей /г/г/ при данном значении /г обе величины, стоящие в правой части данного уравнения (а и /г), постоянны, то расстояние ХУ также постоянная величина. Отрезок УЯ перпендикулярен отрезку ХУ, поэтому всем плоскостям /г/г/ с одним и тем же значением к отвечают узлы Z обратной решетки, которые образуют слой, перпендикулярный х. Разным значениям 1г соответствуют разные слои узлов обратной решетки. Так, например, для /г = 0 точка 5 должна совпадать с точкой X, и, следовательно, нулевой слой обратной решетки О/г/ проходит через начало координат X. Первый слой (Ш) пересекает ось х на расстоянии 1/а от начала координат. Второй слой (2/г/) пересекает ось х на расстоянии 2/а от точки и т. д.
До сих пор обсуждение не затрагивало расположения отдельных узлов внутри одного и того же слоя обратной решетки. Однако эта задача легко решаема при рассмотрении семейства плоскостей с постоянными значениями к или /. Так, плоскостям /гО/, 1г\1, к21 и т. д. отвечают узлы обратной' решетки, находящиеся в слоях, перпендикулярных оси у. Эти узлы расположены друг от друга на расстоянии 1/6. Аналогично узлы обратной ре-щетки, отвечающие плоскостям МО, М1 и др., образуют слои, перпендикулярные оси г. Расстояния между узлами в этих слоях равны 1/с. Каждому из семейств плоскостей отвечает одна точка, которая как бы принадлежит сразу трем слоям обратной решетки. Например, точка 201 находится во втором слое для плоскостей, перпендикулярных оси х, в пулевом слое для плоскостей, перпендикулярных оси у, и в первом слое для плоскостей, перпендикулярных оси г. Поскольку узлы обратной решетки находятся на пересечении различных слоев и поскольку эти слои расположены регулярно в обратном пространстве, то обратная решетка представляет собой регулярную трехмерную конструкцию.
А7.1.2. Соотношение между параметрами кристаллической решетки и параметрами обратной решетки. В предыдущем разделе было показано, что узлы обратной решетки, отвечающие семействам плоскостей 0/г/, Ш, 2/г/ и т. д., расположены в слоях, перпендикулярных оси х в реальном пространстве или оси а элементарной ячейки кристалла. В этих же слоях (О/г/, Ш и т. д.) находятся оси Ь* и с* обратной решетки. К такому выводу можно прийти, рассмотрев, например, рис. А7.1, в, на котором изображено сечение /гО/ обратной решетки. Видно, что в этом сечении расположены оси а* и с*. Поэтому
Если все углы кристаллической решетки и обратной решетки прямые, т. е. а=В=,у = а* = р*=='у* = 90о, то соответствующие пары осей в реальном и обратном пространстве параллельны, т. е. а\\а*, Ь])о*, с\\с*. В общем виде соотношения между углами в кристаллической решетке и в обратном прост
апалогнчио
а
и наоборот
ось а перпендикулярна плоскости Ь*с* ось Ъ перпендикулярна плоскости а*с* ось с перпендикулярна плоскости а*Ь* ось а* перпендикулярна плоскости Ьс ось Ь* перпендикулярна плоскости ас ось с* перпендикулярна плоскости аЬ
Д7. Обратная решетка
299
ранствс можно записать следующим образом: а+а*=180°, fJ+P*=180°, Y + T*=180°.
А7.2. Систематическое погасание рефлексов и обратная решетка
В гл. 5 показано, что существование центрированных (иепримитивных) кристаллических решеток—причина систематического погасания определенных рефлексов на рентгенограммах кристаллических веществ. Каждый тип решетки характеризуется собственной совокупностью отсутствующих рефлексов. Кроме того, наличие в кристалле открытых элементов симметрии — плоскостей скользящего отражения или винтовых осей—также ведет к характерному систематическому погасанию рефлексов. Рассмотрим, как это систематическое погасание проявляется в обратной решетке. Прежде всего введем одно допущение.
Как было показано ранее, рентгенограммы, получаемые при съемке монокристаллов, представляют собой непосредственно изображение обратной решетки. Однако интенсивности каждой точки обратной решетки пропорциональны интенсивности рентгеновских лучей, рассеянных на разных семействах плоскостей кристаллической решетки. Поскольку интенсивности рассеянных рентгеновских лучей существенно меняются при отражении от различных плоскостей, то и интенсивности точек обратной решетки заметно отличаются друг от друга. Чтобы в обратной решетке выделить точки разной интенсивности, последние изображают в виде пятеи различного размера (см., например, рис. 3.2). Такое изображение называют взвешенной обратной решеткой. Для настоящего изложения представляет интерес лишь сам факт существования или отсутствия рефлексов на рентгенограммах вне зависимости от их интенсивности. Поэтому все разрешенные рефлексы будут изображаться в виде точек одинакового размера. Для того чтобы продемонстрировать трехмерность обратной решетки, на рис. А7.3 предпринята попытка изобразить на одной плоскости различные сечения обратной решетки. С этой целью используются разные обозначения: маленькие темные кружки, большие светлые окружности н крестики, которые относятся к различным сечениям обратной решетки. Большинство обсуждаемых вопросов рассматривается на примере ромбических кристаллов, поскольку именно они характеризуются наибольшим разнообразием типов кристаллических решеток (табл. 5.2).
