Химия твердого тела. Теория и приложения: В 2-х ч. Ч. 2 - Вест А.
ISBN 5-03-000071-2
Скачать (прямая ссылка):
в-третьих, нужно составить представление о том, как можно описывать явление дифракции в терминах обратной решетки.
А7. Обратная решетка
295
А7.1. Изображение кристаллической решетки в реальном и обратном пространствах
Связь между изображением кристаллической решетки в реальном и обратном пространстве удобно рассмотреть на примере моноклинной элементарной ячейки (рис. А7.1). На рис. А7Л,а изображена проекция элементарной ячейки на плоскость ас. Поскольку ось Ь является особой осью, то по определению угол р=^90°. Ось Ь перпендикулярна плоскости рисунка, так как а=,у=90о. На рис. А7.1,а изображены плоскости решетки (100) и (001) и соответствующие межплоскостпые расстояния г/то и ^001. Отметим, что поскольку §7^90°, то ёюофа и с10о\фс. Начало координат выбранной элементарной ячейки находится в точке X.
Как показано на рис. А7.1,6" каждое из семейств плоскостей (100), (001) и т. д. изображается в виде одпой-единственной точки. Эти точки находятся на расстоянии \\й (для каждой из рассматриваемых плоскостей) от начала координат в обратном пространстве. По отношению к началу координат они расположены в направлении, перпендикулярном направлению расположения семейства кристаллографических плоскостей в реальном пространстве. Направления, перпендикулярные плоскостям (100) и (001), обозначены на рисунке а* и с* и называются осями обратной решетки. Чтобы отличать оси и углы в реальном и обратном пространстве, для обозначения этих элементов в последнем случае используют звездочки. Заметим попутно, что в данном конкретном примере оси обратной решетки а* и с* непараллельны осям а и с кристаллической решетки в реальном пространстве. Причиной этого является то, что Рт^90°. В то же время оси Ь и Ь* параллельны друг другу (и перпендикулярны плоскости рисунка), так как а—ч = 90°.
Каждое семейство плоскостей кристаллической решетки имеет своим отображением точку в обратной решетке. Можно показать, что в случае большого числа семейств плоскостей в обратном пространстве возникает совокупность точек, образующих трехмерную решетку (обратную решетку). На рис. А7.1,я изображено сечение обратной решетки, состоящее из большого числа отдельных точек. Элементарная ячейка в обратной решетке выделена сплошными и штриховыми линиями. Вершинами выбранной ячейки на проекции А7.1 служат точка начала координат и узлы обратной решетки с координатами 100, 001 и 101. Вдоль каждого из направлений обратной решетки па равном расстоянии друг от друга расположены узлы этой решетки. Поскольку г/()0 2 = "2"^скп, то узел 002 удален от начала координат па
расстояние, в два раза превышающее расстояние от начала координат до узла 001. Координаты узлов обратной решетки могут быть как положительными, так и отрицательными, и, следовательно, точка начала координат расположена в центре решетки.
До сих пор рассматривались лишь такие семейства плоскостей кристаллической решетки, которые параллельны Ь, т. е. с индексами типа (Н01). Узлы обратной решетки, отвечающие этим плоскостям кристаллической решетки, лежат в одном и том же сечении обратной решетки (рис. А7.1,е). Чтобы представить себе полную картину обратной решетки, необходимо дополнить ее другими сечениями, индексы (Ш) которых будут иметь ненулевые значения /г. В этом случае возникает трехмерная решетка в обратном пространстве, состоящая из узлов, отвечающих плоскостям кристаллической решетки. Таким образом, сечение обратной решетки, изображенное на рис. А7.1, в, представляет собой нулевой слой (/г —0). Следующий слой, расположенный над данным сечением и имеющий в примитивной решетке точно такое же изображение, будет иметь индексы НМ; по аналогии со сказанным слой, находящийся под данным сечением, будет иметь индексы
/Ш. Эти слои называются первым слоем и т. д. Таким образом, обратную
296 Приложение
*300
«201
Рис. А7.1. а — проекция моноклинной элементарной ячейки на плоскость ас; #— точки обратной решетки, отвечающей элементарной ячейке, изображенной на рис. а; в —- большее число узлов той же двумерной обратной решетки.
А7. Обратная решетка
297
решетку можно рассматривать как бесконечную во всех направлениях. На практике размеры обратной решетки ограничивают некоторым минимальным значениям межплоскостного расстояния й (максимальной величиной Щ).
А7.1.1. Доказательство того, что обратная решетка является трехмерной совокупностью узлов. Чтобы доказать сформулированное положение, достаточно показать, что всем семействам плоскостей /г/г/ с одним и тем же значением К отвечают такие точки обратного пространства, которые образуют один слой, перпендикулярный а. Каждому иному значению К соответствует другой (причем каждому свой) слой узлов обратной решетки. Поскольку
Рис. А7.2. Построение обратной решетки.
такое же доказательство может быть применено к другим семействам плоскостей с постоянными значениями /е и I, то узлы обратной решетки должны образовывать периодическую трехмерную структуру.
Рассмотрим рис. А7.2. Пусть одна и та же точка X будет центром решетки как в реальном, так и обратном пространстве. Пусть также ось х кристаллической решетки вертикальна. Никаких предположений относительно величины параметра а элементарной ячейки делать нет необходимости. Показаны также две плоскости (1 и 2) одного семейства плоскостей /г/г/. Плоскость 1 проходит через начало координат. Плоскость 2 пересекает ось х в точке 5. По определению индексов Миллера имеем
