Теоретическая кристаллохимия - Урусов В.С.
Скачать (прямая ссылка):
170
тых долях ребра с(а) элементарной ячейки), на которой располагается слой, занимаемый указанным на строке атомом.
Значительно более разнообразны структуры, которые можно представить как комбинации различных по. геометрии атомных сеток. Например, так называемые кубические фазы Лавеса типа ]\^Си2 можно рассматривать в-направлении оси 3-го порядка как сетки 3636, разделенные пачками в три слоя, состоящих из треугольников З6. Если же смотреть на эту структуру в направлении, перпендикулярном плоскости (ПО), то ее можно изобразить как чередование сеток З6 и сеток 3535 из связанных вершинами пен-тагонов с промежуточными треугольниками.
10. ПАРАЛЛЕЛОЭДРЫ ФЕДОРОВА. ОБЛАСТИ ДИРИХЛЕ — ВОРОНОГО. СФЕНОИДЫ
В конце прошлого века Е. С. Федоров создал теорию парал-лелоэдров — одинаковых выпуклых многогранников, заполняющих пространство в параллельном положении и имеющих попарно равные и параллельные грани. Последние могут быть как четырех-, так и шестиугольными. По числу граней выделяются четыре основных типа параллелоэдров с тремя'(куб), четырьмя (гексагональная призма), шестью (ромбододекаэдр) и семью (ку-бооктаэдр) парами параллельных граней (рис.77).
Параллелоэдры можно получить, если мысленно увеличивать в объеме узлы решетки до тех пор, пока они не соприкоснутся.
Рис. 771. Основные параллелоэдры Е. С. Федорова: а — куб; б — гексагональная призма; в — ромбододекаэдр; г — кубо*
октаэдр
Тогда между ними появится плоская грань, а при дальнейшем расширении узлов эти грани пересекутся в вершинах. Если проделать такую процедуру с простой кубической решеткой (Р-ячейка Бравэ, см.рис.56 а), то пространство без промежутков заполнится кубами. Если то же сделать для кубической /"-ячейки (см. рис. 56, и), то возникает плотная укладка ромбододекаэдров. Кубической /-ячейке (см. рис. 56, м) соответствует заполнение пространства кубооктаэдрами. Гексагональная Р-ячейка (рис. 56, н) дает заполнение пространства гексагональными призмами, которые образуют укладку типа «пчелиных сот».
'б
В
а
171
Другим решеткам Бравэ будут отвечать менее симметричные параллелоэдры, производные от только что рассмотренных четырех основных типов. Так, тетрагональной Р-решетке будет соответствовать параллелоэдр в форме тетрагональной призмы, который может быть получен из куба путем растяжения или сжатия вдоль оси четвертого порядка, а ромбоэдр (тригональная Р-ячей-ка) получается в результате деформации того же куба по тройной оси и т. п.
На этом основании Е. С. Федоров сформулировал свой закон «кристаллографических пределов», согласно которому все кристаллы делятся на два типа: кубический и гексагональный. К первому относятся все те кристаллические тела, пространство которых выполняется без остатка параллелоэдрами, производными от куба, кубооктаэдра и ромбододекаэдра, а ко второму — те, пространство которых заполняется параллелоэдрами, производными от гексагональной призмы.
Е. С. Федоров указывал, что описанный выше способ равномерного разделения пространства на многогранники не единственный. Действительно, если в кубе провести четыре его телесные диагонали, то он разделится на 6 квадратных пирамид одинакового объема и с общей вершиной в центре куба. Таким образом все пространство равномерно делится на пирамиды. Нетрудно убедиться, что можно разделить пространство без промежутков и на многогранники разного типа, например октаэдры и кубооктаэдры •и т. д.
Идея Федорова оказалась очень плодотворной и в дальнейшем в том или ином виде неоднократно возрождалась. Один .из способов разбиения пространства состоит в следующем. Исходным яв-
Рис. 78. Построение многогранников Делоне (б) и Дирихле (в) вокруг
системы узлов (а)
ляется некоторый решетчатый комплекс пространственной (в частном случае — плоской) группы. Внутри него соединяют прямы-¦ми какую-либо точку (узел решетки) со всеми соседними точка-'ми. Затем строят плоскости, нормальные к каждой из таких прямых и разрезающие их посередине (рис. 78, в). Эти плоскости ограничивают некоторую выпуклую часть пространства, которая носит название-области. Дирихле для данной точки комплекса, по
;172
Рис. 79. Многогранники Дирихле вокруг атомов серы в пирите (а) и кислорода в рутиле (б)
имени немецкого математика П. Дирихле (1848). Для пространства такие области были впервые построены русским математиком Г. Ф. Вороным, и поэтому они обычно называются областями Дирихле — Вороного,
Другой способ разбиения пространства был предложен известным геометром В. Н. Делоне. Разбиение Делоне производится так, что при соединении отрезками ближайших точек системы образуется совокупность смежных друг с другом выпуклых многогранников (см. рис. 78, б). Довольно легко доказать, что грани многогранников Дирихле перпендикулярны ребрам многогранника Делоне и наоборот. Каждой вершине разбиения Делоне соответствует многогранник Дирихле.
В физике твердого тела области Дирихле—Вороного принято называть ячейками Виг-нера — Зейтца, или «сферами действия». Можно показать, что вершины многогранника Дирихле являются точками пространства, наиболее удаленными от точек системы. Если эти точки составляют некоторую правильную систему в кристаллической решетке, занятую в кристалле атомами определенного сорта, то можно ожидать, что наиболее устойчивыми положениями атомов другого сорта будут вершины многогранника Дирихле. Действительно, на рис. 79 показано, что в вершинах многогранников Дирихле для систем точек, соответствующих центрам атомов Э и О в структурах пирита РеБг и рутила ТЮ2, располагаются катионы (Галиулин, 1985).
