Промышленная очистка газов - Страус В.
Скачать (прямая ссылка):
Z = K(Z-U)-g (VI.26b)
245
На уровне входа (Z=O) U0тн=0, и начальное расстояние частицы от оси равно R1. Тогда уравнения (VI.26) должны удовлетворять следующим условиям: при t=0
R = R1, R=O, 0 = ю, Z = O, Z = Uk (VI.27)
Задача состоит в интегрировании уравнений (VI.26) и (VI.27). При этом определяют время t, за которое частица достигнет стенки при R=R2• Поскольку эти уравнения линейны по отношению к Ri задача равнозначна нахождению времени от R=RiIRs до 1. Уравнение (VI.26, в) не связано с другими, и его решением при заданных начальных условиях является выражение
Z = (и — g/K) t
что указывает на постоянную скорость частицы вдоль оси. Здесь существует ограничение осевой скорости, достаточное для того, чтобы вертикальный дрейф частицы уравновешивал ее массу. Поскольку на практике 1 ООО С/С < 10000, это отклонение мало, и им можно пренебречь, исключение составляют лишь крупные частицы.
Предположение, что 0=ю означает, что 8 = 0. Тогда из уравнения (VI.26, б) видно, что R=R-0, а из уравнений (VI.26, а) и (VI.27) Rito2=O. Это возможно лишь в том случае, если газовый поток не вращается, либо когда частица сразу попадает на осевую линию и остается на ней. Поскольку К является большим параметром, другие коэффициенты в уравнениях (VI.28, а и б) могут быть сравнимы с /Cl и в частности член 2RQ в уравнении (V.26, б) не может быть больше, чем 0 (1) для малых t. Член в правой части
уравнения может быть либо 0 (/С), либо 0 (I). В первом случае 0 тоже должно иметь значение 0 (К), таким образом, для малых t
ё = AT (0 — CO) -f- 0 (I)
что дает
в = м + Ae~Ki + 0 (0 • ••
Из условия 0=о) при t=0 следует, что Л=0, тогда 0=0 вместо 0=0(/(). Таким образом, первое предположение несправедливо.
Отсюда следует, что 0—ш=0(/С—*) при малых t, что имеет реальный физический смысл, поскольку в предельном случае при К—
(т. е. бесконечная вязкость) частицы будут связаны с окружающим газом и Uoth=O. Записывая 0=ш(1—S) в уравнении (VI.26,а), где S<0(/C-1) сравнивается с К, получаем
R + KR — со2/? = 0 (К-1) (VI • 28)
246
Тогда основное приближение для R(t) следует записать в виде
R = Ае~к>‘ + Bek^t (VI. 29)
с максимальной ошибкой О (/С-1) при малых значениях t. Здесь A>i и Яг являются корнями квадратного уравнения Я2+/(Я,—со2, а А я В — константы. Последнее уравнение имеет решение:
¦к = -1Z2K [I ± (I -A(JIK1)1Ia Поскольку (ОІК мало, можно уточнить
X1 = ы*/К — (й*/К3 + О (К — 5)
K2 =-К-^2IK+ 0 (К-3)
Используя первоначальные условия (VI.27), можно найти
Следует учитывать, что оценочное значение О {К~1) для ошибки в последнем уравнении относится к решению уравнения (VI.28) в тех случаях, когда его правая часть равна нулю.
Уравнения (VI.30, а) и (VI.30,'6) показывают, что существуют две различные шкалы времени, связанные с движением пыли. Вначале наблюдается период, когда устанавливается относительная скорость, отличающаяся от нуля, т. е. 1 Яг I^=O(I), что соответствует пограничному слою на входов циклон. Когда /=0(1), члены относящиеся .к пограничному слою, ,исчезают, ,и 'начинают доминировать члены которые и определяют дрейф частиц к стенкам. Из уравнения (VI.30, а) видно, что не существует такого t, при котором R<.0. Ценность уравнения (VI.30, б) зависит от реального порядка модуля члена to2(2S—S2), отброшенного 'В уравнении (VI.28). Выраженное через S, уравнение (VI.26, б) запишется в виде
пограничного слоя S не более, чем 0(є2) =0(/С-2) по сравнению с К.
Первоначальной целью расчета является определение времени U в течение которого частица пройдет расстояние от радиуса Ri До R2 или дойдет до J?=l для данных значений RifRi и функции вязкости К. Однако уравнения (VI.26, а и б) не дают удовлетворительного решения с помощью стандартных алгоритмов из-за присутствия пограничного слоя вблизи Z=0. Так, если время задается по шкале пограничного слоя, то можно рассчитать ход частицы
R = R1{ emtK + (tоВД e~Kt) + 0 (К'1) или более точно, обозначая ш/К через є
R = R1 {(1 — Є2) ек (?а-?4) + E2 е~к (1+е2) 0 + 0 (К~3)
(VI. 306)
(VI.30а)
247
внутри слоя, но ошибки округления при прямом решении для /=0(1) по сравнению с К приведут к возникновению ложных искусственных слоев при каждом шаге, это вызовет искажение численных решений уравнений и появление численных неустойчивостей. Уравнения (VI.26, а и б) и (VI.27) представляют собой задачу сингулярного возмущения [885], которая может быть решена методом последовательных асимптотических разложений. Здесь будут найдены два решения, соответствующие условиям /=0(/(-1) и /=0(/С/ш2), которые будут называться соответственно внешнее и внутреннее разложение. Предполагают, что значение R-I будет достигнуто только при внешнем разложении для того ряда значений К, которые представляют интерес при расчете циклона.
Внутреннее разложение. Для того, чтобы рассчитать траекторию начального движения частиц, принимается сопоставимое время, т. е.
T = ZC(^es-Et)
Полностью это должно быть T=\%2\t, но членами, расположенными за 0(є4), пренебрегают. Вводя это 'Определение и записывая как и ранее 0=ю(1—S), можно показать, что уравнения (VI.26, а и б) переходят в следующие
