Основы количественной теории органических реакций - Пальм В.А.
Скачать (прямая ссылка):
В проблемной лаборатории химической кинетики и катализа Тартуского государственного университета начата работа в указанном направлении.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. ВЫВОД И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ппл /./. Вывод ППЛ
Пусть мы имеем непрерывную функцию f{x,y) от аргументов х и у. Зададимся целью найти приближенный вид функции
F [} (х, т), f (п., у)] -=f(x, У)
где пит — какие-либо закрепленные значения аргументов хну.
Такая постановка задачи означает, что мы хотим моделировать поведение функции от двух независимых переменных, заменив последние функциями от одной переменной, представляющей собою моделируемую функцию при закрепленных значениях одного из этих двух независимых переменных.
Разложим функцию F = f в ряды Тейлора при f (я, у) = f(n, т) и f(x, т) = = /(", т)
f (х, у) = f (х, т) + U (п, у) - f («, т)] fy (х, т) +
+ Vi[f (я,У)- f (п, т)?%(х,т)+ ... (/. 1.2)
f U, У) = I («, у) + [/ (х, т) - f (п, т) fx (л, у) +
+ Vi [f (х, т) - f (п, т)}2 fx (п,у)+ ... (/. 1.3)
, , df (х, у) I
д\ (п. у) \у=т В точке с координатами х = п и у — т имеем:
?(*.т)-?(/¦.*)=¦ О
Вблизи этой точки указанные вторые производные, вследствие непрерывности функции }(х, у), не могут стать резко отличными от нуля. Кроме того, в этой области множители Ц(п, у) — {(п, т)]2 и [}{х, т) — f(и, т)]2 перед ^ (х, т) и ]'х (п< У)' соответственно, также малы. Следовательно, члены рядов (/. 1.2) и (//. 1.3), имеющие второй или более высокий порядок, являются произведениями двух малых величин и ими можно пренебречь как малыми второго порядка.
Заметим, что в случае разложения функции $(х, у) в ряды Тейлора по переменным хну, члены второго порядка малы только по причине малости величин
х — п или у — т. а относительно производных -т- и -—-
оу \у=т ох
мы не располагали бы никакой информацией, не зная вида функции {(х, у). В этом заключается весь смысл рассматриваемого способа моделирования функций.
1.1. вывод ппл 31
Пренебрегая членами второго и высших порядков и приравнивая правые части (1.1.2) и (/. 1.3), поскольку равны левые, мы получим:
I (х, т) + Ц (п, у) - / (п, т)] ?у (х, т) =
: f («. У) + U (х, m) - f (п, т)\ f'x (п, у)
нение после несложных алгебраи" 1У:
С (x, m) - 1 f (я, у) — I
Это уравнение после несложных алгебраических преобразований можно привести к виду:
f (х, m) - f (п, m) f (и, у) - f (и. m) "a"-m (LL4)
При изменении величины у и постоянстве х остается постоянной левая часть этого уравнения, при изменении х и постоянстве у — правая часть. Следовательно, как левая, так и правая части равны постоянной, ап, т, не зависящей от аргументов х и у.
Таким образом, из (/. 1.4) следует, что:
f'y (х, m) = 1 + а„ m [f (x, m) - f (я, m)] Подставляя полученное значение f' (х, т) в (/. 1.2), получим f (х, У) = f (х, т) +
+ If (п, у) - f (я, т)\ {1 + an, т [f (х, m) - f (и, т)\}
или, после преобразования:
f (х, у) — f (п, m) + U (х, m) - f (п, m)] + [f (и, у) - f (и, m)] +
+ a*, m [/ (х, m) - f (n, m)] [f (п, у) — f (и, т)] (/. 1.5)
Если обозначить f (п, m) — f0, f(x, m) — f{n, m) — x, f(n y) — f(n, m) = y' и an, m = a, то уравнение (/. 1.5) может быть записано следующим образом:
f (х, у) = fo + х' + у' + ах'у' (/. 1.6)
Этот результат можно распространить на функцию f(xu х2.....xt ...) от
многих переменных. Ищем новую функцию:
F[f(xv п2, .... х{, ...), f(n,, х2.....*\, ...)] = f(jcr х2, хг ...)
Разложив эту функцию в ряды Тейлора при
«2.....хг ...) = /(и,, п2, хг ...)
и
!(«!¦ х2.....х{, ...) = f(nl, п2, .... nit ...)
и заменяя f(n, у) на f(ni, хг, ..., Xi ...) и f(m,x) на f(xu п2.....xt ... ), получим выражение, аналогичное уравнению (/. 1.6). Затем можно поступить таким же образом с функцией f(tii, х2, ..., xt, ...) и т. д., пока не получится разложение по функциям типа f(nu п2, .... xt, ...), каждая из которых зависит от одной независимой переменной типа хи
Для функции от трех переменных мы имеем
f (x, у, z) = f0 + x' + у' + z' + ах'у' + ах'г' + + a'y'z' + aa'x'y'z' (/. jj)
если f(x,y,z) ищется в форме F[f(x,m,q), f(n,y,z)], или
f (x, у, z) = h + x' + У' + z' + a"x'y' + a'"x'z' +
+ a"'y'z' + a"a"'x'y'z' (/. ?.8)
если f(x,y,z) ищется в форме F[j(x, y, q), f(n,m,z)].
312 ПРИЛОЖЕНИЕ I
Сопоставляя (1.1.7) и (1.18), можно заключить, что а — а' = а" = а"'. Аналогичным образом для функции от многих переменных получается
f(xi<x2.....xr ¦¦¦) = fo + ?Jri + a?? x'ix'l +
1+i
где /о = /(ль «г, .... п(, ...); xj = f(n,, п2,.... xf,...) —f (л,, я2,.... ni(...)
и т. д.; п2, ..., я*, ... — какие-то постоянные значения Х\, х2.....х{, ...
в рассматриваемом интервале изменения функции /.
Уравнение (/. 1.9) представляет собою запись ППЛ.
Как легко заключить из сказанного, процедура разделения переменных не обязательно должна быть доведена до конца. Ничего не изменится в принципе также и от того, если искать для функции f(xt, х2, Xi, ...) выражение в виде
FV(XV Х2*Г ni+V П1+? •••)' f(ni' П2> ¦¦•
.... п., xl+{, xi+2, ...)]
или группируя переменные каким-то другим образом.
Следовательно, в правой части уравнения (/. 1.9) можно сгруппировать часть переменных вместе, заменив их одной новой, следующим образом:
