Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Описание флуктуации в терминах процессов рождения — гибели
28Ь
ризованных кинетических уравнений, для которых характерно обращение в пуль действительной части соответствующих собственных значений матрицы коэффициентов К. Это приводит к увеличению времени жизни такого типа решения, что сильно напоминает известное в теории равновесных фазовых переходов явление «критического замедления» [367]. Во-вторых, эволюция матрицы дисперсий также определяется «долгоживущим» решением. Это приводит к аномальному поведению флуктуации, которые возрастают во времени и систематически отклоняют распределение вероятностей от пуассоновского.
Эти соображения могут быть нС[!осредствепно проверены на -примере неустойчивостей, приводящих" к возникновению пространственных распределений или предельных циклов [272, 279, 280], а 1акжс множественных стационарных состояний (183, 248, 255, 386]. Тем не менее, как уже неоднократно отмечалось, анализ неустойчивостей на основе фундаментального уравнения для процессов рождения — гибели имеет серьезные ограничения, так что дальнейшие исследования проблемы неустойчивости мы продолжим-в гл. 11 и 12 после того, как будут разработаны основы локального описания флуктуации в неравновесных системах.
ГЛАВА 11
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА И МНОГОМЕРНОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИФФУЗИИ
ПЛ. НЕОБХОДИМОСТЬ ЛОКАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ ФЛУКТУАЦИИ
Здесь мы попытаемся сделать более количественные выводы па основе проведенного в разд. 10,2 рассмотрения ограничений формализма процессов рождения — гибели.
Чтобы лучше попять возникновение химической неустойчивости*), проанализируем поведение флуктуации в макроскопической системе, состоящей из большого числа частиц W-»-cx> и занимающей макроскопический объем V —* со при конечной плотности JV/V. Кроме того, допускается наличие внешнего воздействия на систему. Нас, однако, интересуют малые и промежуточные по величине флуктуации, наиболее эффективно отклоняющие систему от неустойчивого состояния. Допустим, что система, несмотря па флуктуации, остается пространственно-однородной- Ниже критической точки распределение вероятностей является гауссовым:
/>(6*)с<ехр(- V-^r). ' (МЛ)
где х — интенсивная переменная (^^"Т")' соответствующая
числу частиц X определенного компонента. Дисперсия сг(<л» зависит от среднего значения х и не зависит от размера системы. Из уравнения (П.1) следует, что
fijcoclT*. (11.2)
Учитывая, что V — полный объем макроскопической системы, можно заключить, что флуктуации, описываемые равенством (11.2), чрезвычайно малы и, по-видимому, не-могут влиять на поведение системы.
Наоборот, если флуктуация типа
6хосО(1) (11.3)
реализуется с конечной вероятностью, то она обязательно имеет локальный характер, т. е, относится к малой части большой системы с объемом AV, таким, что (AV)-l/i <х 0(1). Необходимо,
*) Такой же анализ можно провести для гидродинамических флуктуации и фактически в случае всех макроскопических систем.
Фазобое пространство и многомерное фундаментальное уравнение
287
однако, учитывать, что эта малая подсистема связана с остальной частью системы за счет обмена веществом (диффузия) и энергией (теплопроводность) па границе между ними. Иными словами, вследствие флуктуации плотности система становится локально неоднородной и использование фундаментального уравнения (10.2) в формализме процессов рождения — гибели становится необоснованным.
Таким образом, для наличия когерентных колебаний в большой однородной системе необходимы маловероятные крупномасштабные флуктуации. В линейных или близких к равновесию системах оба способа анализа флуктуации становятся эквивалентными. Это замечательное свойство «подобия», благодаря которому вопрос о размере системы — и тем самым о ее однородности— Становится несущественным, является прямым следствием отсутствия корреляций между отдельными случайными переменными*). Однако нелинейные неравновесные системы не обладают этим свойством.
11.2. ОПИСАНИЕ ФЛУКТУАЦИИ В ФОРМАЛИЗМЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
После того как мы пришли к необходимости локального описания неравновесных флуктуации, прежде всего следует обратиться к формализму фазового пространства, в котором локальный характер флуктуации проявляется особенно ярко. Иными словами, в качестве случайных переменных выберем число частиц Ха компонента X (для упрощения изложения в настоящем разделе мы будем рассматривать случай одного промежуточного продукта с переменной концентрацией), занимающих фазовый объем ДГа вблизи состояния а. Это состояние определяется координатами г и импульсами р, а также всеми внутренними степенями свободы {е;}, которые могут влиять на результат в данной задаче. Для упрощения сначала будем считать, что а принимает лишь дискретные значения, хотя переход к случаю непрерывных изменений не представляет особых трудностей. Величину Ха можно выразить через функцию распределения частиц по скоростям [а, фигурирующую в кинетической теории газов [60]:
Хп_/пДгДр{Де;}, (П.4)
где /а—Мгновенное распределение скоростей и координат (см, рис. 11.1).
