Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
организации (вблизи 6 — 0) и квазиоднородную область ^б^у^.
На рис. 8.7 изображен случай фиксированных концентраций па границах круга. Полученная структура не зависит от угла и соответствует собственной функции п=0, ( = 2. На рис. 8.8 показан случай прямоугольника с теми же граничными условиями
7 Зэк. 1286
Глава И
и собственной функцией пж = пу = 1. Этот случай рассматривался также при более высоких значениях В. Результирующее распределение (рис. 8.9) теперь уже отражает не только свойства симметрии собственных функций ф(пх = 1, пу= 1) — в центральной области наблюдается впадина, увеличивающаяся с ростом параметра В. Здесь проявляется влияние субгармонических членов (см", также разд. 7.6), приводящее к изменению геометрических свойств первого приближения ф{пх = 1, Пу = 1) при возрастающих значениях параметра бифуркации (В — Вс).
На рис. 8.10 и 8.1! изображен случай системы в форме квадрата с нулевыми потоками на границах, соответствующий вырожденному собственному значению, при различных начальных условиях. Рис. 8.Ю соответствует слабому возмущению неустойчивого состояния в.одной точке. В результате возникает простая Структура, характеризуемая числами пх = 0, пу=\. В случае рис. 8.11 возмущение накладывается в другой точке, и возникающая структура соогвегсгвуег вырожденному решению Ф(пх = 0, Пу = \) + ф(пх = \, Пу = 0). Однако эта структура неустойчива — при слабом возмущении она стремится перейти либо в структуру, соответствующую собственным функциям ф{пх = 0, Пу = 1), либо в структуру, характеризуемую функциями ф(пх -= 1, Пу =-0).
Рассмотрение Одномерных задач (гл. 7) показало, что при различных начальных условиях возможны разные устойчивые решения. Все эти решения связаны с одной из неустойчивых собственных функций, обычно соответствующей заметно отличной от нуля действительной части он. То же справедливо и для двумерных систем, в которых возможность бифуркации быстро
X
3
Рис. 8.8. Стационарная шгсеипатпвная структура в системе, имеющей форму прямоугольника при фиксированных концентрациях на границах. Свойства системы соответствуют тримодекулярной модели. Значення ііяряметров; /я = 0,231, ^ = 0.165, А = 2, 0 = 3,9, D,= 1,6- Ю-3, D2 = 8- 10_a,
Диссипативные структуры а явления самоорганизации
195
X 4
3
Рис. 8.9. Распределение концентраций при тех же условиях, что и на рис. 8.8, за исключением несколько повышенного значения параметра бифуркации В = 4,1.
Я
1
Рис. 8.10. Устойчиная стационарная лиссипативная структура в системе, имеющей форму кпадрата. Свойства системы описываются три молекулярной моделью. Потоки па границах системы равны нулю. Значения параметров: (х=*1у = 0,132873, 4 = 2, .v
В=: 4, /), = 1,6- 10"\ Д2 = 8- 10~а.
Рис. 8.11. Неустойчивое распределение концентраций, полученное при тех же условиях, что н на рис 8.10.
т
Глава 8
1*1
[*1
Л*
в
V4 ¦ и' ~~ в
Рис. 8.12. Сравнение схем бифуркации для одномерной (вверху) и двумерной (внизу) систем.
увеличивается с ростом параметра бифуркации. Например, при сравнении одномерной системы с размером 1 и прямоугольника со сторонами 1 и 0,5 (в обоих случаях потоки на границах отсутствуют) для собственных значений получаем
одно измерение: ?; = гсл,
два измерения: к{ = я(п\ + 4п*у!*г
л = 0, 1, пх = 0, 1,
по=0. I,
Предположим, что физико-химические параметры выбраны так, что допустимые значения при которых однородное состояние неустойчиво, удовлетворяют условию
2л < А, < Зл.
В одномерном случае этому условию удовлетворяет лишь собственная функция ф(п~2)г в то время как в двумерном случае следует рассматривать три различных решения: ф(пх—0, пу=\), ф{Пх=\, пу=1) и ф(пх=2, пч = 1). Эго положение можно проиллюстрировать при помощи общей схемы бифуркации, показанной на рис. 8.12. В одномерном случае при увеличении В в точке В* происходит лишь одна бифуркация. Напротив, в двумерной системе до точки В" может произойти несколько бифуркаций. Кроме того, как мы уже видели, в двумерной системе вследствие вырождения собственных значений, обусловленного высокой степенью симметрии системы, в результате одной бифуркации может возникнуть сразу несколько решений. Численные расчеты полностью подтвердили эту удивительную множественность диссипативных структур в двумерных системах. В данном случае, следуя Хэнсону [151], можно говорить о «квантовании» состояний макроскопической системы.
Диссипативные структуры и явленая самоорганизацию
197
Периодические во времени и волнообразные решения
Во многих случаях, представляющих интерес с точки зрения физической химии и биологии, возникают решения, по всем признакам периодические и обладающие к тому же нетривиальной пространственной зависимостью. В качестве наиболее яркихпри-меров можно было бы привести возникновение вращающихся спиральных волновых фронтов в реакции Белоусова — Жабогнн-ского, а также импульсы химической активности клеточной поверхности, которые, по-видимому, как-то связаны с последующей деформацией этой поверхности. Некоторые примеры такого рода обсуждаются в гл. 13 и 16. В настоящем разделе рассмотрены математические аспекты этого вопроса ц возможность получения пространственно-временных распределений, обладающих менее высокой степенью симметрии, нежели исходная пространственная область. Мы будем иметь дело исключительно с такими системами, в которых потоки на границах равны нулю, поскольку в случае ненулевых граничных условий может возникнуть искусственная пространственная зависимость, обусловленная граничными условиями. Аналогичные рассуждения применимы и к волнообразным решениям в системах с периодической геометрией, например на сферической поверхности [12],
