Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Николис Г. -> "Самоорганизация в неравновесных системах" -> 62

Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.

Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. Под редакцией доктора хим. наук Ю. А. Чизмаджева — М.: Мир, 1979. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): nikolis-prigogine.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 171 >> Следующая

190
Глава S
Линейный анализ устойчивости
Пусть собственные функции H собственные значения пространственного оператора Лапласа есть fi(r) н —к] соответственно:
Если заданы размеры, форма системы и граничные условия, то эти величины определяются однозначно. Напомним, что н одномерном случае (см. разд. 7.4) задавались тригонометрическими функциями, a ki были равны i2jzz/i2. Для данного к,- устойчивость однородного стационарного решения Хц = Л, Уо = В/А [см. равенства (7-16)] в двумерном случае определяется теми же соотношениями, что и в разд. 7.4. А именно;
1. Один корень характеристического уравнения отрицателен, а другой положителен, если
В>В,= !+Лй-^ + -^ + D.fei (8.38)
При Se = mInB;.
2. Корни характеристического уравнения комплексно-сопряжены и имеют неотрицательные действительные части, если
В > Bt = 1 + Л2 + (Dx + Ц,) kl (8.39)
при Вс = min Bt.
Более высокая размерность пространства обусловливает изменение вида собственных функций линеаризованной задачи. Например, в отсутствие потоков па границах системы получаем
(л*(. ^(=0, 1, 2, ...).
Эти выражения справедливы для прямоугольника со сторонами li и ie, расположенными параллельно осям координат. В случае же круга радиуса R имеем
( l[ )±=eV( X \{еШ ± е~1пв) 4 {k'r) {8А !)
(n = 0, 1, 2, ...),
Дасеипативные структуры и явления самоорганизации
1»1
X X'
а 6
Рис. 8.5. Зависимость параметра бифуркации от собственного значения оператора Лапласа (17 —область неустойчивого стационарного состоянвя).
а—нстніїиое вырождение; 6 — случайное пырожаекие.
где 1„ — функция Бесселя целого порядка п. В обоих случаях допустимыми значениями А,- являются
А2 = л2(4-+4-) ».40а)
и
а1а^г) I = = О (8.41а) {/1 = 0, 1, 2, 1 = 1, 2, ...).
Дополнительным очень важным свойством является возникновение вырожденных собственных функций. Это означает, что даже в случае первой неустойчивости термодинамическая ветвь может иметь множественные первичные бифуркации.
При п Ф 0 вырождение всегда имеет место в случае круга, причем каждому значению А,- (а также и,-) соответствуют две независимые собственные функции:
фи 1 = с1соз/г6/га{А(г), &,2 = СъЪ'тпВ /п{А,г).-
Аналогичная ситуация имеет место в случае квадрата, если только пХ1 ф пуг. Вырождение может возникать и в случае прямоугольника, хотя это требует несколько более жестких условий, ограничивающих размеры его сторон. Еще более сильное вырождение возможно в случае сферы [151].
Следует отметить, что если даже в результате первой бифуркации не возникает «чистая» бифуркация рассмотренного выше типа, при одном и том же значении параметра В могут произойти две различные бифуркации. Такое «случайное» вырождение иллюстрируется на рис. 8.5 (см. также [38]).
192
Главо S
Результаты численных расчетов стационарных решений
Аналитическое вычисление «ветвящихся» стационарных решений в невырожденном случае не представляет труда. С математической точки зрения более интересен случай с двукратно или более сильно вырожденными собственными значениями, поскольку в соответствии с упоминавшейся в разд. 6.6 теоремой, природа и устойчивость возникающих в результате бифуркации решений заранее неизвестна. В общем виде этот вопрос изучался в работе Сат'гипгера и Мак-Леода (254], а также па конкретном примере Тримолекулярной модели в работе Шиффмана ]353]. Мы не будем здесь приводить их результаты, а только лишь рассмотрим численные расчеты двумерных распределений в случае тримолекулярной модели [101].
На рнс. 8.6—-8.11 показаны стационарные структуры, образованные промежуточным продуктом X при слабом возмущении неустойчивого стационарного состояния Хо, Уо (на некоторых рисунках начальное возмущение, налагаемое па однородное неустойчивое решение, показано стрелками). Па каждом рисунке результирующее распределение отражает геометрические свойства одной из неустойчивых собственных функций Ф,{г). Эти
Рис. 8.6. Полярная стационарная диссипативнан структура а системе, имеющей форму круга и описывающейся уравнениями тримолекулярной модели.
Потки /ей граница* снегейьг раины яугна. Штрнх-пунктирнян лнипч соответствует неустойчивому однородному стационарному состоянию. Значения параметров.: й —М, Л=2, 5 = 4.6, ??1 — 3,^5 ¦ 10~3, О, —1,02 ¦ НГ-2.
Диссипйтивные структуры и явления самоорганизации

Рис. 8.7. Стационарная диссипативная структура в системе, имеющей форму круга и описывающейся уравнениями три молекулярной модели. На границах системы заданы концентрации. Значения параметров: й = 0,2, Л = 2, В =4,6,
С,= 1,6- Ю-3, Ог = 8 ¦ Ю-3.
функции можно охарактеризовать при помощи двух целых чисел, определяемых методами линейного анализа устойчивости [см. равенства (8.40а) и (8.41а)]. Например, для прямоугольника такими числами будут пх и пу, а в случае круга— ли/. Получаемые при этом диссинативные структуры можно сопоставить с теми модами, которые имеют заметно отличную от нуля положительную действительную часть со,-.
На рис. 8.6. изображен случай системы в форме круга при отсутствии потоков на границах. Ясно, что соответствующей стационарной структуре присущи свойства неустойчивой собственной функции »=1,1 = 1 с ее характерной полярностью. Отметим, что в одном направлении полярность соответствует спонтанному установлению макроскопического градиента концепт-рации вдоль системы, обусловленного различными значениями X или У на границах системы г = 0 и г = /. Упорядоченная картина, изображенная на рис. 8.6, не является тривиальным обобщением одномерных полярных структур на случай круга — на самом деле видно, что круговая граница позволяет иметь в одной и той же структуре две разные области"— область высокой
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed