Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
можно получить стандартный вид уравнения для Ъ [372]:
(8.32)
(8.33а)
где
3^
= и (а, Ь, к).
х
V
А
(8.336)
Диссипативные структуры и явления самоорганизации
187
Далее используем то обстоятельство, что система с одной переменной всегда может быть описана при помощи потенциала. Так, уравнение (8.33а) можно переписать в виде
<и аг - ,0
где Т — интеграл от правой части (8.33а), вычисленный с точностью до произвольной постоянной:
Г^^- + и~- + ^. (8.35)
Плоскость «, и разбивается па две области, в одной из которых имеется единственный минимум функции Т, а в другой — два минимума, разделенных одним максимумом. Граница между этими областями определяется из условия слияния двух корней кубической формы, фигурирующей в правой части (3.33а):
4н3 + 2^v? = 0. (8.36)
Это уравнение, аналогичное (8.29), определяет полукубическую параболу (а) + <й), изображенную на рис. 8,4а. При пересечении ветвей (о) или {Ь) (см, рис. 8.4а) справа возникают два новых стационарных решения. Левее кривых (а) и (Ь) расположена область множественных стационарных решений, рис. 8.36, в которой оба минимума Т в общем случае различны по величине, за исключением точек, образующих линию {с}, на которой справедливо T(Zn 0 =У(2ог), где Z0, и Z02 — значения Z для первого и второго минимума Т. На этой линии, выходящей из угла О, реализуется ситуация, которая в теории катастроф называется «конфликтом», в том смысле, что состояния Z01 и Z03 обладают одинаковой силой притяжения*), Поэтому при т->оо система может переходить с линии (с) в то или ицое состояние. Эти представления, мотивированные известным в теории фазовых переходов первого рода правилом Максвелла [216], могут быть обоснованы при помощи стохастического анализа флуктуации. Подробнее этот вопрос рассмотрен в разд. 12.6.
Интересно рассмотреть поведение Z на кривой (а) 4- (Ь) рис. 8,4а, В этой связи отметим, что точка О всегда является Проекцией в трехмерном пространстве Z, и, v точки О', принадлежащей поверхности Z = Z(u, u) и соответствующей слиянию
*) На саном деле, в соответствии с приведенными здесь формулами, ли-чия конфликта Ос должна располагаться симметрично относительно ветвей
J'лова Н
Рис. 8.4а. Диаграмма устоит и воет и системы, описываемой кинетическим уравнением (8.33а) с кубическим членом при наличии двух параметров; Ос— линия «конфликта», О — угловая особенность (cusp singularity).
Рис. 8.46. Иллюстрация катастрофы Римана — Гюгонио (см, проекцию на плоскость и — и) как бифуркации, приводящей к новому решению Z {см. поверхность).
О' — точка бифуркации, соответствующая угловой особенности. Пунктирный участок кривой соответстеует области множественных стационарных решений ураикенчя для z.
Диссипативные структуры и явления самоорганизации
189
трех корней уравнения (8.32а). Правее кривой (а) -4- (Ь) все вертикальные линии, выходящие из плоскости (и,и), пересекают поверхность 2 — г(и,ю) в единственной точке. Левее же этой кривой имеется три точки пересечения. Таким образом, двигаясь в сторону отрицательных и, можно заметить, что принадлежащий поверхности Х{и,ь) образ О' точки О является точкой бифуркации, в которой возникает новая ветвь стационарных решений (й') + (Ь'), как это показано на рис. 8.46 [378, 379]. Сходство между кривыми О'Ь'а' и бифуркационными схемами, полученными в гл. 7, поразительно, Если точка О' доступна системе, то при переходе через нее, как, например, в случае кривой О'с', возникает ситуация, аналогичная образованию ударной волны или фазовому переходу первого рода в области сосуществования различных фаз. В частности, находясь сначала в области, соответствующей гладкой волне с определенной скоростью распространения, после перехода через О' можно оказаться в режиме,-характеризуемом двумя различными скоростями распространения. Это явление было изучено Риманом и Гюгонио и соответственно может быть названо катастрофой Римана — Гюгонио ?373].
В пространстве физико-химических параметров а, Ь, к имеем аналогичную ситуацию. Угловая особенность на рис. 8.4 возникает в окрестности точки ат\„ на рис. 8.3а, которая снова является точкой бифуркации в обычном смысле. Наконец, как неоднократно отмечалось в данной книге, для химических систем, описываемых более чем одной переменной и находящихся вдали от равновесия, в общем случае невозможно построить потенциал, из которого можно было бы получить кинетические уравнения. Следовательно, отмеченная здесь аналогия с теорией катастроф присуща лишь особому классу систем.
8.5. ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
Одномерные задачи в нелинейной кинетике, хотя и полезны с методической точки зрения, дают лишь далекие от реальности модели. Особенно это справедливо в биологии, где многие чрезвычайно важные процессы протекают па двумерных поверхностях, таких, как клеточные мембраны. Цель настоящего раздела—сформулировать некоторые результаты, относящиеся к Двумерным диссипатцвным структурам. Мы увидим, что свойства симметрии рассматриваемой пространственной области приводят к очень интересной взаимосвязи между размером системы !! формой возникающих решений; кроме того, значительно возрастает число возможных решении. Как и в гл. 7, основные идеи бУДут проиллюстрированы на тримолекулярной модели (7.13).
