Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
8.4. МНОЖЕСТВЕННЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ и ПЕРЕХОДЫ ПО ЗАКОНУ «ВСЕ ИЛИ НИЧЕГО»
Замечания общего характера
В данном разделе мы рассмотрим пространственно-однород-ные системы и изучим случаи, в которых кинетические уравнения допускают более одною стационарного решения. В таких ситуациях осуществляются резкие переходы между устойчивыми стационарными состояниями, не сопровождающиеся потерей симметрии или возникновением временнбй упорядоченности. Связь между пространственными и временными явлениями обсуждается а разд. 8,10 л гл. 16 в применении к морфогенезу и процессам развития.
Идея гистерезисных явлений, связанных с множественными стационарными состояниями, была давно выдвинута РашевскиМ |333] в связи с биологическими задачами. Бирман [34], а также Спэнглер и Снелл [304] обсуждали модели ингибирования
Диссипативные структуры а явленая самоорганизации Ш
продуктом реакции, в которых имелось два или более устойчивых стационарных состояний. Кроме того, при определенных значениях параметров уравнения (8.23), описывающие работу химического реактора, также допускают несколько стационарных состояний. Отсюда вытекают очень важные практические выводы относительно эффективности работы реактора [118].
Интересный класс моделей, приводящих к множественным стационарным состояниям, образуют схемы, в которых содержится простая авгокаталитическая стадия. Модели такого типа были предложены Эдслстайном [92], Гольдбетером и Николи-сом [139], а также Деккером и Спайделем [84]. Интерес к этим моделям вызван в основном тем, что они включают механизм усиления слабых эффектов, который может играть важную роль в процессе химической эволюции. Эти вопросы рассмотрены, в гл. 17.
К Другому классу моделей относятся регуляторные процессы на генетическом уровне [15, 16, 61]. Появление большинства этих моделей связано со схемой Жакоба — Моно [181] для бактериальных регуляторных процессов.
В данном разделе мы проиллюстрируем основные аспекты проблемы переходов между множественными стационарными состояниями на простом классе моделей, содержащих единственный промежуточный продукт. Такие модели анализировались Шлёглем [354, 355], Янссеном [183], Мак-Нейлом и Уолл-сом [255], а также Матесоном, Уоллсом и Гардипером [248].
Простая автокаталитическая модель
Рассмотрим следующую схему нелинейной реакции:
А + 2Х ^ ЗХ,
Х^В. k,
(8.24а)
Полная реакция имеет вид
Ач=*В. (8.246)
В'этой реакции А превращается в В через промежуточный продукт X, катализирующий собственное образование. Система открыта в смысле взаимодействия с бесконечными резервуарами А и В, в результате чего концентрации этих веществ постоянны, возможные способы экспериментальной реализации такой ситуации уже обсуждались в гл. 7. Кинетическое уравнение имеет вид
^ = - к3Х3 + к{АХ2 - к3Х + 1цВ. (8.25)
I
?82
Глава 8
Это уравнение допускает равновесное решение, если выполнены условия для одновременного равновесия реакций (8.24);
Еслн скорости постоянны и определяются только механизмом реакции, то равенство (8.26а) можно рассматривать как условие на отношение Л/6:"
Если только Я то сродство полкой реакции (8,246) не
обращается в нуль и система находится в неравновесных условиях. Стационарные решения уравнения (8.25) удовлетворяют уравнению
XI - аХ% + кХа - Ь = 0, (8.27а)
в котором приняты следующие обозначения:
с-276»
Как известно из элементарной алгебры, характер корней этого кубического уравнения зависит от знака выражения цъ + гЭ> где [1]
' 2 , ' и , / ! (8.28)
Если а3 + гг >¦ 0, то уравнение имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня. При д3-т-г3-<0 все три корня действительны. Эти два режима разделены в простран* стве параметров (д, г) или (а, Ь, ?) кривой
^т-г'^О, (8.29)
на которой уравнение (8.25) имеет по крайней мере два одинаковых корня
в то время как третий корень определяется равенством
*0,*2г''- + 4. (8-306)
Диссипативные структуры и явлении самоорганизации
183
Ь=Ь{а)
Рис. 8.3а. Диаграмма' линейной устойчивости для модели (8.24) в пространстве параметров Ь и а. Область, ограниченная кривой Ь = Ь (а) (т. е. 6] < Ь < Ь% при 0 = 01), соответствует множественным стационарным состояниям.
Таким образом, все три корня одинаковы, если г = 0 и, следовательно, 7 = 0. С учетом равенств (8.28) это дает
а-=(3й)",
Й*'* = —
Равенство (8.29) можно представить через а и Ъ в следую» щем виде:
ь' + 2 а" ~ \ ак) Ь + 4т к* - 17 аЧ2 = °- (8-31 а>
Если обозначить два корня этого уравнения Ьі и Ъч, причем Ь\ < Ь2, то для того, чтобы все три корня уравнения (8.27а) были действительными, необходимо выполнение условия
&! < Ь < 62. (8.316)
Отметим, что условие равновесия (8-266), выраженное через I параметры а и Ь, имеет вид
¦ Легко убедиться в том, что это условие не выполняется, если ¦только справедливо неравенство (8.316). Таким образом, в данной модели множественные стационарные состояния могут возникать лишь вдали от равновесия.
ш
Глава 8
Ряс. 8.36. Стационарная зависимость концентрации от параметра Ъ-
Пуиктирная часть PQ крипой соответстаует веуииНчивой ветви. В оС1лаг:ти bi<b<fc, система имеет три стационарных состояния, в силу чего возможны гистерезн^ньте явления. В точкам Q II Я пронскорнт скачкообразное изменение X с переходом на ветви PR н QO
