Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Математический аппарат
97
переменными зги случаи реализуются при Д(ХС) =0 и 7,(А(,-)=0 соответственно [см., например, уравнение (6.29)]. Можно показать [349], что в окрестности точки А = Ас те решения, которые ветвятся при надкритических значениях \~> Ас, являются асимптотически устойчивыми, в то время как решения, ветвящиеся При подкрнгических значениях Л <С Ас, асимптотически неустойчивы. Эти результаты подробно проиллюстрированы на моделях в гл. 7.
Примечательно, что ЭтН весьма нетривиальные результаты основаны на свойствах линеаризованной системы. Это объясняется уем обстоятельством, Что интерес представляют свойства решений в первую очередь выше или ниже точки бифуркации. Напротив, при А= Кс принцип устойчивости линеаризованной системы (см., например, разд. 6.3) неприменим, поскольку система находится в состоянии с нейтральной устойчивостью. В этом случае для выяснения характера критических точек и возможности ветвлений необходимо анализировать полную нелинейную систему.
Возникновение множественных Стационарных состояний и асимптотически устойчивых периодических траекторий представляется чрезвычайно важным в связи с физико-химическими Приложениями. Рассмотрим сначала случай многих стационар-Пых состояний. Особый интерес представляет ситуация, в которой система может иметь более двух одновременно устойчивых состояний такого рода. В этом случае становится возможной определенная функциональная упорядоченность как следствие переходов между этими состояниями, причем возникает саморегуляция концентраций различных химических веществ. Отметим, однако, что при наличии бифуркаций такая возможность реализуется не всегда. Например, после единственной особой точки может иметься лишь одно новое асимптотически устойчивое решение. При определенных начальных условиях система может не допускать ограниченных решений прн или даже
ведет себя взрывоподобным образом при конечных значениях г. Как будет показано в дальнейшем, множественные стационарные состояния возникают в целом ряде моделей, представляющих интерес в физической химии или биохимии.
Переходя к бифуркации периодических во времени решений, мы видим, что возможность согласованного поведения может реализоваться в виде временной организации системы. Теперь уже временная Организация с необходимостью подразумевает структурную устойчивость. Следовательно, две периодические (замкнутые) траектории в фазовом пространстве, возникающие в результате бифуркации, обязательно отделены конечным промежутком не только друг от Друга, но и от особой точки. Согласно Пуанкаре, такие траектории называются предельными циклами.
а Эак. Шб
98
Глава б
Рис. 6.9. Асимптотически устойчивый, неустойчивый и полууетойчивый предельные циклы.
Напротив, структурно неустойчивые системы могут иметь в конечной области фазового пространства бесконечное число замкнутых траекторий. Их амплитуды и периоды зависят от начальных условий, в то время как в случае предельных циклов они определяются самой системой. По зтой причине впредь мы исключим замкнутые траектории, расположенные вокруг центра, из числа моделей химических колебаний (к этому вопросу мы вернемся в разд. 7,1 и 8.2).
Предельный цикл не всегда бывает асимптотически устойчивым. Как показано на рис. 6.9, возможны не только полуустой-чивыс, но и неустойчивые предельные циклы.
Приведем также без доказательства некоторые важные результаты, установленные для предельных циклов в двумерном фазовом пространстве [6]:
1, Внутри замкнутой траектории находится по меньшей мере одна особая точка. Если особая точка находится внутри замкнутой траектории, то этой точкой может быть^ либо фокус, либо центр, либо узел. Такая точка не может быть седловой или множественной особой точкой.
2, При отрицательном критерии Белдпксона, если выражение
[см, уравнение (6.13)] не меняет свой знак в некоторой области плоскости (X, У), то эта область не может включать какой-либо предельный цикл. Из этого утверждения следует также, что предельные циклы могут возникать лишь в нелинейных системах.
3, Простые асимптотически устойчивые предельные циклы могут плавно возникать из особых точек по описанному выше бифуркационному механизму.
4, Простые предельные циады могут появляться цз множественных предельных циклов, возникающих при слиянии устойчивого и неустойчивого предельных циклов.
Математический аппарат
99
Рие. 6.10. Бифуркация предельных циклов при наличии сепаратрис, соединяющих дпе особые точки, одна из которых является седлопой [6].
5. В результате подкритической бифуркации периодической траектории, выходящей из особой точки, вокруг этой точки может возникнуть два или более предельных цикла. Такая под-критическая бифуркация может произойти при определенных критических значениях параметров. Конкретный пример рассматривается в разд. 15.5.
6. При наличии петли сепаратрисы, соединяющей две особые точки, из которых одна является ссдловой, могут возникать более сложные бифуркации предельных циклов. Пример такого рода показан на рис. 6.10.
Как будет показано, при выполнении условий 3 во многих химических системах могут возникать предельные циклы. К настоящему моменту уже известны модели (см. гл, 15), приводящие к более сложному поведению, которое соответствует пунктам 5 и 6. И хотя более широко значение предельных циклов будет обсуждаться ниже, уже сейчас можно подчеркнуть, что возможность строго периодического изменения концентраций следует рассматривать как важнейшее средство регуляции химической или биологической активности в самых разнообразных случаях.
