Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
смотрения уравнения первого порядка по е, из которого получается дифференциальное уравнение для (Х)'1'. Поскольку в общем случае рО) отлично от пуассоновского распределения, в уравнение для (X)''1 входят поправки к макроскопическому закону:
-^§— = а1Х + Поправки. (12.63а)
Эта схема может быть продолжена до получения необходимого числа поправочных членов к {Х)(0) и Р(0,(Х, (). Далее, зная Р, можно вычислить дисперсии, например
<б*2)= (б*3)"" + е(бХ2)'11 + ... = {Х)т + 1\ (М3)"1 + ... . (12.64)
Интересно, что свойства флуктуации в объеме ДУ явным образом зависят от этого объема. Если объем стремится к нулю, то дисперсия переходит в пуассоновскую. При конечных же объемах необходимо учитывать поправочные члены. Этот результат наглядно иллюстрирует переход от мелкомасштабных флуктуации, описываемых фоккер-планковскнм пределом фундаментального уравнения в фазовом пространстве, к крупномасштабным флуктуациям. Аналогичный результат был получен в разд. 11.11 из многомерного фундаментального уравнения путем интегрирования корреляционной функции 0(г1,гв) по конечному объему (см. также [116]), Это очень интересное свойство флуктуации в неравновесных системах должно поддаваться непосредственной проверке при помощи экспериментов но рассеянию в жидкости, содержащей реагирующую смесь.
Последнее замечание по системам, приводящим к неустойчн-востям, относится к упорядоченности, В рамках разложения по степеням е [уравнения (12.57)— (12.60) ] неустойчивость проявляется исключительно через уравнения для последовательных приближений <АГ)<°\ ... к среднему значению (Ху. Соответствующие распределения вероятностей Р(|) «подстраиваются» к эволюции средних, хотя в то же время они отклоняются от пуассоновского распределения. Однако в окрестности неустойчивости последующие поправки, по-видимому, будут все более суше-
348
Глава 12
ственными, отчасти потому, что сам параметр е перестает быть малой величиной в силу длинноволнового характера корреляций. В конце концов рассматриваемое разложение становится неприменимым и зависимость решения от I приобретает сложный н даже не обязательно аналитический характер.
12.8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Изложенная в этой и предыдущей Главах теория флуктуации в неравновесных системах позволила сделать довольно определенные и несколько неожиданные выводы. Во-первых, мы показали, что характеристики флуктуации в конечном объеме зависят явным образом от этого объема. Во-вторых, в окрестности неустойчивости в системе развиваются длинноволновые пространственные корреляции, даже если система остается макроскопически однородной в пространстве. Эти корреляции характеризуются длиной когерентности, которая является внутренним параметром системы и обращается в бесконечность по мере приближения к критической точке. В-третьих, возникновение неравновесных неустойчивостей в макроскопических системах обусловлено отклонением флуктуации от пуассоновского распределения.
Однако, несмотря на эти успехи, многие важные задачи остаются нерешенными. Основная причина этого состоит в трудности решения полного фундаментального уравнения без обращения к приближенной процедуре обрыва цепи уравнений для моментов, за исключением нескольких частных случаев систем с одной переменной. В результате оказывается невозможным дать удовлетворительную оценку хотя бы априорной вероятности того, что в системе спонтанно возникнет флуктуация определенной величины и протяженности. Не удается также оценить скорость роста такой флуктуации в области неустойчивости.
Более строгое рассмотрение могло бы, по-видимому, изменить ряд количественных предсказаний, основанных на асимптотических решениях типа оборванной системы уравнений моментов. Мы имеем в виду, в частности, наличие «классического» показателя степени {см. разд. 11.10, 12.4 и 12.5), Это может оказаться также следствием пренебрежения тройными корреляциями при анализе многомерного фундаментального уравнения (см. разд. П.Ю) или следствием использования метода среднего поля при описании флуктуации в настоящей главе. Более детальный анализ флуктуации может привести к неклассическим показателям степени, как это имеет место в обобщенной Уилсо-ном теории Ландау, рассматривающей равновесные критические явления.
ЧАСТЬ IV
МЕХАНИЗМЫ КОНТРОЛЯ В ХИМИЧЕСКИХ И БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Сейчас мы подходим к основному предмету нашего исследования. Нам хотелось бы показать, каким образом развитые и проиллюстрированные на моделях методы могут применяться для решения конкретных задач в ряде областей. Прежде всего будут рассмотрены некоторые вопросы, связанные с самоорганизацией в химических и биологических системах. Глава 13 посвящена изучению диссипативных структур, возникающих при протекании отдельных реакций. В гл. 14 и 15 рассмотрены биохимические реакции на субклеточном и клеточном уровнях. Наконец, в гл. 16 обсуждается случай более сложных реакций, относящихся к надклеточному уровню, включая коллективное поведение популяций клеток. В части V представление о самоорганизации распространяется на такие проблемы эволюции, как конкуренция. В гл. 17 обсуждается эволюция взаимодействующих и воспроизводящихся макромолекул. При этом мы постараемся выяснить, способна ли популяция макромолекул достичь состояния с такой же степенью упорядоченности, какой обладает генетический код. Собственно говоря, в этом и состоит проблема происхождения жизни. Наконец, в гл. 18 проанализированы явления самоорганизации на уровне взаимодействующих популяций в экосистемах.
