Акустооптические устройства и их применение - Магдич Л.Н.
Скачать (прямая ссылка):
1.7. Теория дифракции расходящейся световой врлны
В этом параграфе, следуя результатам работы [18], найдем общее решение дифракционной задачи для волны, падающей с произвольным распределением волнового фронта, и получим выражение для дифрагированного поля для частного случая, когда поле падающей волны распределено по гауссовому закону.
22
Рассмотрим реШенйе (1.18) и (1.21) для плоской волны. Для простоты ограничимся малыми значениями угла Брэгга: 0б <С1. Дифрагированная волна, так же как и падающая, является плоской. Ее амплитуда при прочих равных условиях определяется отклонением волновой нормали падающей волны от угла Брэгга (см. последний множитель в i( 1.21)). С математической точки зрения процесс образования дифрагированной волны из падающей формально состоит из двух независимых этапов: на первом изменяется амплитуда падающей волны согласно (1.21), на втором - направление ее распространения (согласно второму члену в (1.18)). По завершении этих независимых операций уравнение падающей волны совпадает с уравнением волны дифрагированной.
Известно [19], что любую ограниченную в пространстве, а следовательно, расходящуюся волну можно представить в виде набора плоских волн, распространяющихся в различных направлениях с амплитудами, зависящими от распределения ее поля. Такое представление называется разложением в угловой спектр по плоским волнам и позволяет падающую волну с любым пространственным распределением амплитуды заменить набором элементарных плоских волн, или угловым спектром, а затем рассмотреть формирование углового спектра дифрагированной волны из углового спектра, падающей по правилам, о которых речь шла выше; и, наконец, найти распределение поля дифрагированной волны по ее известному угловому спектру. Это представление удобно тем, что позволяет оперировать не с распределением амплитуды падающей волны, а с ее угловым спектром и свести явление дифракции к изменению углового спектра падающей волны. Задача упрощается, если разложение по плоским волнам производить только в одной плоскости- плоскости дифракции. В перпендикулярной плоскости акустическое поле на угловой спектр практически не влияет.
Предположим, что область акустооптического взаимодействия аналогична рассмотренной в § 1.3. Акустическая волна распространяется вдоль оси X системы координат XYZ (рис. 1.7). Пусть на возмущенную область под углом Брэгга к волновому фронту акустической волны вдоль оси у системы координат хуг, развернутой относительно исходной вокруг оси Z на угол 6& (оси z и Z совпадают), падает световая волна. Предположим,
23
что по оси х волна имеет произвольное распределение амплитуды Е(х), Если в области взаимодействия световая волна имеет плоский фронт, то ее можно записать в следующем виде:
Е - Е(х) exp [i (Ы - ky)\.
К амплитуде падающей волны в плоскости у=0 применим операцию преобразования Фурье 00
A(fx) = j?(x)ex p(-i2nfxx)dx.
-00
Величина A(fx) называется угловым спектром распределения поля Е(х), соответствующим пространствен-
Рис. 1.7. Геометрические соотношения при дифракции расходящейся
волны
ным частотам /х. Физический смысл углового спектра A(fx) вытекает из следующего. Выразим амплитуду Е(х) в виде обратного фурье-преобразования ее углового спектра
00
Е(х)е== j A (fx) exp (i2vfxx) dfx. (1.37)
-00
В плоскости у~0 выражение
A (fx) dfx exp (i2nfxx) = A (fx) dfx exp (Йяу.лгД) (1.38'
можно рассматривать как элементарную плоскук волну с направляющими косинусами yi=kfx и 72- = Y1 - Шх)2 [19], распространяющуюся под углом с к оси у (рис. 1.7) при условии, что sin аВыраже ние (1.38) называют также пространственной гармони
Амплитуда этой волны зависит от направления а и имеет вид A(fx)dfx. Таким образом, угловой спектр A(fx) определяет амплитуды элементарных волн в зависимости от направления их распространения. Амплитуда падающей волны Е(х) определяется суммированием всех элементарных волн в (1.37) по всем возможным направлениям.
Угловой спектр дифрагированной волны Ai(a) формируется из углового спектра падающей волны Л°(а) согласно (1.21) и при малых брэгговских углах имеет вид
4(a) = -exp[-/i-y]rX
sin -г- VW2 + a2
X-------------------А0 (a). (1,39)
^ YW2+ О.2 V '
Здесь с учетом (1.23) и (1.32)
XV/ 1 1Г 2
W - 2п0Б V 2LH '
Амплитуда дифрагированного поля Еi(x) находится обратным фурье-преобразованием ее углового спектра А\(а) в форме, аналогичной (1.37).
Рассмотрим случай, когда поле падающей волны распределено в плоскости дифракции по гауссовому закону:
Е = Е° exp [- (x2/w20)] exp [/ (соt - ky)\, (1.40)
где wq - радиус светового пучка в его минимальном сечении (перетяжке). Радиус перетяжки соответствует уменьшению интенсивности электрического поля в е2 раз по сравнению с центром пучка.
Угловой спектр падающей волны имеет вид
Д (а) = ?• V*w, ехр'[-<'(<М2)У Ь (1.41) Подставляя (1.41) в (1.39) и (1.39) в (1.37), найдем амплитуду дифрагированного поля Е\(х)
El(x) = ~&xp(^-i E°WV%^X
Составляющие углового спектра, распространяющиеся в направлениях |а|>я/2, затухают. По этой причине интегрирование в (1.42) ограничено интервалом [-я/2, я/2].
