Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
При переходе от сверхзвуковых скоростей (Mt >1) к дозвуковым (M2 < 1), как было ранее показано, газ проходит через скачок уплотнения. В этом случае величины р0, р0 и T0 для заторможенного газа уже не могут вычисляться по указанным только что формулам (69), (70) и (66), так как процесс в целом не изэнтропичен; расчет приходится вести иначе.
Следуя принятым ранее обозначениям, будем считать, что газ до скачка имел параметры рг, р,, T1, после скачка—р2, р2, T2; соответствующие значения параметров изэнтропически заторможенного газа до и после скачка обозначим через р10, pJ0, T10, pw, р20, T20.
1 Число M может равняться нулю в двух случаях: 1) когда скорость движения газа равна нулю и 2) когда скорость звука равна бесконечности, Т, е, газ несжимаем; полагая M — 0, подразумевают всегда второй случай- $ 32] влияние интенсивности скачка на сжатие газа 189'
Как было показано в § 30:
T10 = T20,
P10 __ Pi 0. Pio Pao
следовательно, по (68):
?10. _ Pio __ Pi Pn Pao Pi (T2ij j
(Jk)'"-1
KTJ _ pi ( щУЬ-І (тт\*ік-і - P9 \1\) •
V 2
С другой стороны, из первых двух равенств системы (59) легко вывести следующие соотношения:
2 к а к-1 ' (72) 1 k-Y I
I , А- 1 „2
Р1 1 + 1
~ щ ' (73)
2 1
Замечая, что по формуле Клапейрона
Jl-PL • _?2_
Ti Pi ' Pi '
разделим почленно обе части равенств (72) и (73) друг на друга и получим:
Ik § к— 1 \Л , k — 1
, k - I 1 1 fe+1
)(
Mf-— -T-T-г 1 + —7Г— м
(74)
Чтобы получить искомые отношения давлений и плотностей изэнтропически заторможенного газа за и перед скачком уплотнения, остается подставить выражения (72) и (74) в равенство (71); тогда будем иметь:
к
__1_/ *±1м« Nfc"1
PI0-^-IMTmi *ttJ 11 ¦ feI1 м, 1 * (75)
1 Ia рис. 43 представлен график этого соотношения для воздуха («== 1,4); на том же графике показано сжатие воздуха в скачке p.JPi ПРИ разных M1. Как видно из графика, чем больше число M1 набе-гаюЩего воздуха, тем меньшее давление можно получить за счет 190
одномерный поток идеальной жидкости
{гл. lty
изэнтропического торможения газа, прошедшего через скачок уплотнения. Причина этого явления была выяснена раньше —б скачке уплотнения имеет место необратимое превращение механической энергии в тепловую, вследствие чего полная механическая энергия, в заторможенном газе сводящаяся к энергии давлений, становится меньше.
Из кривой следует также, что потери давления в скачке малой интенсивности, т. е. при числе M1, близком к единице, весьма незначи-
Рнс. 43.
тельны. Легко исследовать поведение кривой на рис. 43 при малых значениях разности Mf—1. Преобразуем равенство (75) следующим образом:
Pvo _ Pao_Г k — 1 і 2k ^a ^
к
/г + 1 k-\-\ -.» . -1?-!
[а+1 ДГ+1 1 k +
Г ! + (Mf-I) I Ll+ (Mf — I) J
к—1
Ic
к—1 §32] влияние интенсивности скачка на сжатие газа
189
Произведя разложение по степеням малой величины (Mi — 1),
убедимся, что коэффициенты при Mi—1 и (M^—1)а обращаются
в нуль, а разложение величины ^L будет иметь вид:
Pio
Pw __ 2k (Mf-I)8
J^ ^1-JkTTf з [-••¦ ^75')
Из последнего разложения видно, что скачки малой интенсивности не приводят к заметной потере давлений, так как при M1, близком к единице, р20 совпадет с р10 с точностью до очень малой величины
2k (M21-1)3
(k+\y з •
Так, Для воздуха (k = 1,4)эта величина имеет порядок 0,16 (Mf— I)8 и, например, при превышении скорости звука на 10%(Mj = l,l) будет равна 0,0015.
Можно показать, что такова же величина приращения в скачке уплотнения энтропии, являющейся мерой превращения механической энергии в тепло (потерь механической энергии). С этой целью применим равенство (45) к параметрам изэнтропически заторможенного газа, что допустимо, так как изэнтропическое торможение не должно повлиять на приращение энтропии в скачке; тогда получим;
R
-It m IiWMf
—1 L/'IO VPso/
Pio — ?jo P№
1-к-, „__ Oh
но, по предыдущему, M==ZJo } следовательно, по (75') Р20 Р№
17/? \ 1 Рж 2k (МЇ— 1Г
In ( —) L=-In-= ¦¦ , * 1O . (76) 1Л/>10/ J Pi о (^+I)2 3 ^ >
R ~ k — l
Отсюда следует важный общий вывод: скачки малой интенсивности приводят к ничтожным изменениям энтропии, так что с достаточной степенью приближения околозвуковые явления можно Рассматривать как изэнтропические.
Из равенства (74) легка найти также соотношение между числами Mj и M2 до и за скачком уплотнения. Заметив, что T1 и T2 связаны простыми соотношениями (66) с температурами T10 и T20 изэнтропически заторможенного газа, причем, как было еще показано в § 30, Ло -T20, получим:
k+ \ М2 192
одномерный поток Идеальной жидкости
[гл. iv
откуда следует
Щ--2—
Из последней формулы видно, как убывает число M2 за скачком с возрастанием числа M1 перед скачком. Чем больше интенсивность скачка, т. е. чем больше отношение сверхзвуковой скорости газа перед скачком к местной скорости звука, тем меньше отношение дозвуковой скорости за скачком к своей скорости звука. Но не следует думать, что дозвуковое значение числа M2 за скачком будет беспредельно убывать с ростом интенсивности скачка M1. Как показывает формула (77), при беспредельном росте M1 величина M2 остается больше величины
