Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
V;
Значения давления, плотности и температуры в „критическом" сечении одномерного потока, т. е. в таком сечении, где скорость равна критическому своему значению, назовем также критическими и обозначим через р*, р* и Т*. Из определения критической скорости следует
a* = VkRT*. (50)
Сравнивая это выражение с аналогичным выражением скорости Звука й адиабатически и изэнтропически заторможенном газе
G0 = YkRT0, И. принимая во внимание (49), получим:
^-''jZ-Ttlt' (5,)
, ^спользуя уравнение адиабаты и формулу Клапейрона, нетрудно 111 и остальные критические величины:
P*
/ 2 \k-~i / 2 \ft—і Чт+т) PО' ^ = Po- (52)
Сопоставляя равенство (42) с формулами (47) и (48), приходим и«ЖНому результату
U1 = а\ 180 ОДНОМЕРНЫЙ поток идеальной жИдкосТИ {гл. lty
или ло (49)
'/•г__ 'р г
1I 1 2>
т. е. при прохождении газа сквозь скачок уплотнения критические значения скорости и температуры потока сохраняются. Сохраняются при этом и отношения критических давлений и плотностей, но не критические давления и плотности, взятые в отдельности.
Согласно (51) и (52), при прохождении газа сквозь скачок уплотнения сохраняется также температура адиабатически и изэнтро-пически заторможенного газа и отношение язаторможенных" давления и плотности'.
т _т Рю_PiO
'ю—^ао» —
PlO Pso
Перепишем уравнение количеств движения (40) на основании (39) в виде
Уравнения энергии (47) и (48), примененные до и после скачка, дают:
k P1....... *+1
k—l Pl 2 C^ —а 2 ' к р2 _ к+1 Vl
к — 1 ра ~~ 2ф — 1) а 2 *
Определяя из последних двух уравнений отношения —, ^ и под-
Pl Р2
ставляя их значения в уравнение (53), получим после простых преобразований равенство:
откуда в силу неравенства V1 ф V2 сразу следует:
V1 V2 = а*2. (54)
Из уравнения неразрывности (39) и условия р2 > р, вытекает, что скорость до скачка всегда больше, чем скорость после скачка (V1 > V2). Равенство (54) уточняет этот результат и показывает, что > а*> a I^a < а*; иными словами, перед скачком уплотнения газ движется со скоростью больше критической, а за скачком — меньше критической. Можно доказать также, что перед скачком газ движется со сверхзвуковой скоростью, за скачком — с дозвуковой скоростьЮ> Т. е., что имеют место неравенства:
V^av V2<a2> (55) ? 32] влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл 181
где o-i и aS — местные скорости распространения звука в газе до и после скачка. Для этого используем равенство (48) и напишем по предыдущему:
ij2 у й3 2 2 , k- I1.2
Vt > a* = --^ + -^,
/V -t— J, /V -T- X
Разрешая эти неравенства относительно v\ и v|, докажем требуемые неравенства (55).
Пользуясь составленными основными уравнениями скачка (39), (40) и (41), можно выразить изменения давления, плотности и температуры газа при прохождении его через скачок уплотнения
Ap =p2—pi, Ap = P2-P1, Ar=T2-F1
через начальные параметры газа и критическую скорость. Имеем по (40) и (39):
Др = P3—P1 = р t Vl— р2 Vl = Pt Vl — Pl V1 Vs, или, пользуясь формулой (54):
Ap = P1Vt- = Pl V\ (1 - . (56)
Аналогично найдем по (39) и (54):
И по (41) и (54):
•ЗД- F1) = -(1/?- l/|)= --?,
2 " 2 V Vf
Vf , в*\ AF=-Lfl---V
Используя ранее принятые обозначения числа М:
(58)
O1' * O2 '
заменим в только что выведенных формулах (56), (57) и (58) квадрат критической скорости а*2 через его выражение (48); тогда после 182
одномерный поток идеальной жидкосТи {гл. lty
простых выкладок получим выражения Ap1 Ap и AT через начальньк параметры газа (до скачка) и число M,:
Ap-.
ft-f 1
Pi
Mj
Apsj=Pl
Mf- 1
AT:
1 + 2ft
ft—1
М?
Vf
(59;
(k-\-lfJc,p
2k (k— 1) (ft +I)*
(1-!^)(1+?") =
AMj)'
Из неравенств (55) следует, что M1 > 1; при этом все рассматриваемые изменения величин р, р и T будут положительны.
Чем больше отличается от единицы число M1, тем больше будут разности Ар, Ap и AT и тем интенсивнее будет скачок уплотнения. Значения числа M1 перед скачком можно принять за меру его интенсивности.
При очень больших интенсивностях (M1 1) формулы (59) могут быть заменены следующими более простыми приближенными (асимптотическими) выражениями:
Ap =
AP=ft AT
T+TplVi' 2
T Pi'
2ft
2k (k—I)
(ft+1 YJcv (ft+1)2
TiMi
(60)
Вторая из этих формул еще раз подтверждает известный уже нал факт возможности сжатия газа при помощи скачка уплотнения не более
чем в —Li раз (в шесть раз в случае воздуха, для которого ft = 1,4).
§ 31. Скорость распространения ударной волны. Спутное движение газа за ударной волной
Изучив основные соотношения в скачке уплотнения, вернемся теперь к рассмотрению явления распространения ударной волны в пространстве.
Задаваясь интенсивностью ударной волны, которую в случае движущейся волны лучше всего характеризовать отношением давления рр устанавливаемого волной, к давлению рj в газе до приход3 ? 32] влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл
183
волны, определим прежде всего скорость 6 распространения ударной волны в невозмущенном, в частности, покоящемся газе. Для этого вернемся от стационарного движения газа по отношению к „остановленной" ударной волне обратно к нестационарному явлению распространения ударной волны в неподвижном газе. Вспомним принятые в начале § 29 обозначения:
