Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Vz . 1 ^ 1 , Vi 1 , 1 .
Pl^l H Pl * ^V2 Pj ' р2'
тогда получим
= Vai-Vt
С другой стороны, из уравнения энергии (42) следует:
А — 1 Vfi Ps/ '
так что, приравнивая левые части двух последних равенств, найдем: 1 , Jl , 1\ k
2
? 32] влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл
177
Группируя в этом равенстве члены с P1 и р2, будем иметь: Pt _ (fc+l)P»— (* — !) Pi _ (fe + l)P2/Pi-(^-D
(43)
P1 (k + l)Pl — (k—l)P2 k + l — (k— 1) Ps/Pi
Это важное соотношение, установленное впервые Гюгонио, определяет связь между давлением и плотностью в газе после прохождения им скачка уплотнения и давлением и плотностью до скачка. Вспоминая связь между давлением и плотностью в непрерывном адиабатическом движении идеального газа, определяемую изэнтропи-ческой адиабатой
?* ¦ Р\'
(44)
видим, что уравнение Гюгонио (43) представляет адиабату, отличную от изэнгропиче-ской; эту адиабату обычно называют ударной или еще адиабатой Гюгонио в отличие от изэнтропической адиабаты Пуассона (44).
Полученный результат на первый взгляд противоречит доказанному в предыдущей главе положению об изэнтропичности адиабатического движения идеального газа. Не следует, однако, забывать, что, в отличие от рассмотренного ранее непрерывного вдоль трубки тока движения, в настоящем параграфе рассматривается разрывное движение с конечным скачком всех величин в некотором сечении трубки тока. Отсюда следует только сделать естественное заключение, что прохождение идеального газа сквозь скачок уплотнения не является изэнтропическим процессом, а сопровождается переходом механической энергии в тепловую. При этом должна возрастать отнесенная единице массы энтропия газа, в чем нетрудно убедиться, если вспомнить, что ПО формуле (26) гл. III:
Tn0^a Рис- 42 показаны для сравнения графики двух адиабат: изэн-&тогИЧЄСКОЙ И неизэнтропической, ударной адиабаты. Как видно из 0 графика, при p2/pj > 1 ударная адиабата располагается выше
12
3aK 1841 Jl
Г .Iiil LluiJl178
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ {гл. lty
изэнтропической, откуда и следует, что выражение, стоящее в квадратной скобке под знаком логарифма в формуле (45), больше единицы, логарифм положителен, так что, действительно:
S2 > S1.
Из формулы (45) сразу следует, что скачка разрежения быть не может. Действительно, повторяя формально все предыдущие рассуждения относительно воображаемого скачка разрежения, можно было бы получить те же самые формулы и при P1 < р2, P1 < pg. Но при P2Ip1 < 1 кривая, соответствующая ударной адиабате, ложится ниже изэнтропической адиабаты, так что в этом случае
S2 4CS1;
это означает, что при прохождении газом воображаемого „скачка разрежения" отнесенная к единице массы энтропия газа должна была бы уменьшаться, что приводит к противоречию со вторым началом термодинамики. Таким образом, и из общих термодинамических соображений следует, что в рассматриваемом случае движения совершенного газа „скачок разрежения" невозможен. При наличии в движущемся газе химических процессов (горение, детонация) последний вывод не имеет места.
Заметим, что ударная адиабата имеет асимптоту
P2_k -f-1
77
так как при этом отношении плотностей отношение давлений, согласно (43), обращается в бесконечность. Отсюда следует, что, в отличие от обычного адиабатического и изэнтропического сжатия газа,1 как бы ни была велика интенсивность ударной волны pjpi, созданное
k I J
ею уплотнение газа PsJpl не может превзойти величины • Так,
например, воздух, пройдя сквозь скачок уплотнения, не может повысить свою плотность более, чем в шесть раз.
§ 30. Критические величины в одномерном потоке ґаза. Связь между скоростями до и после скачка. Изменение давления, плотности и температуры в скачке уплотнения
Введем в рассмотрение важное для последующего понятие Kfu' тической скорости движения газа. Из уравнения сохранения энергий идеального газа (37) гл. III при стационарном адиабатическом er^ движении путем, аналогичным примененному при выводе равенства (42) из (41), получим:
k . JL-I-Yl- const (46)
ft—1 р ' 2 onst' v
1 Например, в теплоизолированном цилиндре с поршнем.? 32] влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл 179
вспомнив определение адиабатической скорости звука (11): И к р , V* а* , V2 „ .
T=T 7+T = T==T +T = Const (4?)
Формула (47) дает непосредственное выражение местной скорости ка в некотором сечении одномерного стационарного потока через скорости частиц потока в этом сечении. Критической скоростью газа называется такая его% скорость а*, при которой скорость распространения звука по отношению к движущемуся газу равна абсолютной скорости самого потока. Полагая в равенстве (47) у— а= а*, получим:
k—l 2 k— 1 ^ 2 2(ft — 1) a '
Критическая скорость а* представляет постоянную вдоль всего потока величину, характеризующую данный одномерный поток в целом, и может быть легко выражена через скорость звука а0 в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе. Для этого достаточно в (48) положить V=O, a = а0; Тогда получим: