Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Для конкретности рассмотрим (рис. 40) цилиндрическую трубу бесконечной длины, вдоль которой может перемещаться поршень. Пусть вначале газ неподвижен, а затем внезапно поршень получает мгновенное ускорение влево, и достигнув скорости V, продолжает двигаться равномерно с этой скоростью. Возникает вопрос, как произойдет передача движения поршня находящемуся перед ним газу.
Созданное непосредственно перед поршнем возмущение — сжатие газа — начнет распространяться влево, причем, в силу внезапности перехода поршня от покоя к движению со скоростью V, протяженность начального участка возмущения по оси трубы будет очень мала. В результате известного уже нам явления обгона проходящими через участки более плотного газа волнами возмущения волн в менее плотном газе, образуется плоская ударная волна, показанная на рис. 40 пунктиром, которая побежит по неподвижному, невозмущенному газу (на рис. 40 влево) с некоторой скоростью б, оставляя за собою (на рис. 40 справа) возмущенный газ, выведенный 'из состояния покоя и приведенный к скорости U=V, одинаковой со скоростью поршня.
Замечая, что бегущая по газу ударная волна встречает перед собой газ с одними и теми же значениями давления, плотности и температуры и, точно так же, оставляет за собою газ с новыми, но также все время одними и теми же термодинамическими параметрами возмущенного состояния газа, можем утверждать, что скорость распространения ударной волны 6 будет величиной постоянной. Из приведенного ранее рассуждения ясно, что ударная волна будет обгонять движение поршня, т. е. всегда
О > V.
Одномерное движение газа в трубе является нестационарным, так как при прохождении ударной волны скорости и основные термодинамические параметры газа изменяются. Для целей дальнейшего расчета удобнее иметь дело со стационарным явлением. Поэтому обрати» рассматриваемое движение, сообщив мысленно всей трубе в целом, вместе с движущимся в ней газом, поступательное движение елеві ? 32] влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл
175
Sswl
япоаво со скоростью 6. Иначе говоря, будем рассматривать происходящее в трубе явление с точки зрения галилеевой системы коор-
инат движущейся поступательно вдоль оси трубы вместе с ударной волной. Тогда ударная волна окажется как бы остановленной, а движение газа — стационарным. Такую „стоячую" ударную волну по предыдущему будем называть скачком уплотнения. Невозмущенный газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит к скачку уплотнения слева направо (рис. 41) со скоростью V1 = O, а за скачком движется со скоростью V2 = 6 — V. Давление, плотность и температура в этой галилеевой системе сохраняют свои прежние значения;
'//////////////. УА/////////////Ш//////^
Vt=B
V7=B-V
P-P,. P-Pi
P=P,,
Г= Г,
Р'РІ
T=T,
ШІШШШИІШЖШШЙв Рис. 41.
условимся обозначать индексом „1" величины перед скачком, индексом „2"—после скачка.
Чтобы найти связь межд> V1, pv р1( T1 и V2, р2, р2, T2, воспользуемся стационарностью потока и применим к нему теоремы сохранения массы, количества движения и энергии в форме Эйлера. Согласно соображениям, приведенным в конце § 23, эйлеровы формы этих теорем могут быть применимы и в случае наличия в потоке поверхностей разрыва (например, скачка уплотнения). Следует только выбрать „контрольную поверхность" так, чгобы те ее части, на которых нормальная составляющая скорости отлична от нуля, не совпали и не пересеклись с поверхностью разрыва.
Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверхности цилиндрической трубы и двух равных мейеду собою по площади нормальных сечений O1 и G2 (рис. 41). Поверхность разрыва пересекает только ту часть контрольной поверхности, где Vn = 0. В силу принятой одномерности движения будем считать, что в сечениях O1 и O2 поля скорости и друг.их величин однородны.
Закон сохранения массы, согласно (32) гл. III, дает после сокращения на O1==O2:
P1V1 = P2V2. (39)
Теорема об изменении количеств движения в форме (42) гл. III приводит, аналогично, к равенству
P1-I P1Vl = P2 + P2Vl
(40) 176 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
и, наконец, закон сохранения энергии (37) гл. III позволяет написан, третье соотношение:
/,+4-4+Т- (41)
К системе уравнений (39), (40), (41) можно еще присоединить уравнение Клапейрона, вследствие которого, используя еще равенство (17) гл. III, можно написать:
• __ г г _ jcPPi-_ k Р}
H-JcP1I- R J1- k_i Pl
и, аналогично,
Pi
2 k — 1 р2' после чего равенство (41) заменяется следующим:
k P1 Vi k Vi
+ -Oi- (42)
k — 1 P1 1 2 k — 1
Таким образом, составлена система трех уравнений: (39), (40) и (42) с тремя неизвестными величинами V2, р2, р2-
Найдем сначала связь между давлениями и плотностями до и за скачком уплотнения, исключив из рассмотрения скорости V1 и 1/2. Для этого, согласно (39), перепишем уравнение изменения количеств движения (40) в виде
Px —Ръ = Pe^-Pi И = PiVrlCVra — F1)
и умножим обе части этого равенства справа на выражение
Vi+ Vi HVi '
а слева на равную ему величину
