Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
интегрирование которого приводит к валеному соотношению-
MiU2+Си+ C1.
к — 1 2
2
Постоянные интегрирования легко определяются из условий:
при и==0 і = iw,
при м = 1 I= 1,
так чго будем иметь:
к — 1 ,,г 2 і Л і к
Mi U2 + (1 - + —mL) 11 + ^o (127)
2
или, переходя к размерным температурам и скоростям
T »-1„з/в\« Л Гю , к-1 яя2 \ м
T
576 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ и ГАЗА [гл. VIIl
Последнему равевству можно придать простой и наглядный смысл. Обо-звачим значком (0) сверху ту температуру, которую газ получил бы, будучи каким-то адиабатическим и изэнтропическим процессом переведен из данвой точки потока к покою.
Тогда для любой точки пограничного слоя получим:
Г*»= r(!+lzl№)= +
( k—l Vt Toa и2 Ч f k—l , Tco И2\
и, следовательно, ва ввешвей гравице слоя (и — V00) и на поверхности пла-стивки (и = 0) будет:
r(o)„r (t t AziJ.
оо * оо I ^ 2
7-W f
* W tv
Переписывая (127') в форме:
T^+ к)-Ti
1 «»2 N -п Vm
W
получим равенство:
-ф и
т?> Vm'
(128)
служащее обобщевием извествого уже вам по § 85 соотношения подобия (74') на случай движевия сжимаемого газа при больших скоростях. Согласво (128), можно утверждать, что в любом сеченни слоя, при сг = 1 и произвольвом показателе степени п в законе зависимости вязкости от температуры, поле перепадов температур газа, адиабатически и изэнтропически пересчитанных на покоящийся газ, подобно полю скоростей.
Разыскавие профиля скоростей по сечевию пограничного слоя, а вместе с тем по (127) и профиля температур, представляет значительные трудвости, так как приводит к необходимости для каждого звачення п числеиво ивтегри-ровать веливейвое ураввевие второго порядка. Для составления этого уравнения возьмем первое уравнение системы (113), одни раз его продифферев-цируем по С и из таким образом получеввой системы:
(г»-У')' + П" = О,
(і«-у)" + + <?V = О
исключим величину tj>; для этого умножим первое из этих ураввений ва «р"'. второе на 9" и вычтем одво из другого. Получим: § 90] Ламинарный слой в сжимаемом газе (о = 1) 577
Имея в виду, что і представляет по (127) известную функцию и и что <f' — 2и, перепишем последнее уравневие в форме:
(/M-Jti')"и' + 2ии'г — (V1-1Ur)' и" = 0
и введем новую неизвестную функцию
s = in-hi' (129)
и новое везависимое переменное и. Тогда будем иметь искомое велинейное дифферевциальное ураввевие
2 и
в котором і предполагается замененным, согласно (127). Из первого уравве-иия системы (113) при Ez=O, « = 0 и ® = 0 следует граничное условие
ГІЧ
при ы = 0 -?-=0, (130')
так как и' ф 0. При u = l s = 0 и уравнение (130) имеет особую точку. Исследуем поведение интегральвых кривых вблизи особой точки. Для этого положим в правой части (130) и = 1; будем иметь, согласно (127), уравнение
S duа А
которое приводится к квадратуре следующим путем (а — постоянная интегрирования):
ds d2s __2 J_ ds
du du% ~~ s ~du '
4 In (as),
Полагая здесь:
-и.
іаидем:
2
- In (as) — z2, as = e~z~, ads = — 2ze~ * dz, u = 1--^ Cifiyr^ta(S)],
2a
це принято обычное обозначевие
Ґ<
(131)
erf* = -4= Г e~**dt. ж J
_ Задаваясь различными а, подбираем такое его звачеиие, чтобы инте-4>альная кривая, выйдя из точки и== 1, S==O вдоль кривой (131) и численно
ds
затем рассчитанвая до и = 0, дала = 0, т. е. удовлетворила граиичвому
условию (130'). Определив таким образом s как функцию от и, сможем по (129) найти и (у, а следовательно, и трение.
37 За» 1841. л. Г. Лойшшсшіі. №
Динамика вязкой жидкости и Газа
ІґЛ. VJii
Так же как и в предыдущем параграфе, получим:
P Vs
"оо v а
,V^x
І' (0)
PooVoe*
W (0),
откуда, согласво (129), будет следовать:
(132)
пластинки в личных значениях числа п. Влиявие
Cft/ЇЇа,
1,5 I1328 P-
W
0,5
п=1
здесь s (0) в свою очередь зависит от температурвого фактора и числа M00.
На рис. 176 приводим рассчитанный полвый коэффициевт сопротивлевия фувкции от числа Mco при отсутствии теплоотдачи и при раз-числа п ва коэффициент сопротивлевия при малых M00 вевелико и возрастает с ростом M00. Как показывают расчеты, влияние п на распределение скоростей BeBejfflKo даже при больших M00.
Можно сделать общий вывод: при отсутствии теплоотдачи и ве слишком больших звачениях Mco < 2 влияние сжимаемости воздуха на характеристики пластивки сраввительво мало. Иное ваблюдается при сильном охлаждевии пластинки. Как было показано еще в предыдущем параграфе, при этих условиях измевевие числа M00 звачительво сказывается на полях скоростей и температур.
Влиявие сжимаемости ва движевие газа в погравичном слое ставовится существенным даже при числах Mco. мевьших едивнцы, при обтекании телесного крылоного профиля. В этом случае влиявие сжимаемости проявляется главным образом за счет измевевия распределевия скоростей во ввешвем потоке, о котором говорилось еще в гл. VI.
При отсутствии теплоотдачи с поверхности крылоного профиля и числе о=1 расчет ламинарвого пограничного слоя ве представляет труда и проводится методом, служащим простым обобщением изложенного в § 88. Параметр /, определевный формулой
