Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ди дх
u~+v
дх і
ди ~ду
dv ду
1 dp dv-u
2 dx' Byi'
:0,
дТ , дТ
1 ?Т T ду*'
(65)
34 Зшс. 1841. Л. Г. Лойцянскнй. 530
ДИНАМИКА вязкой жидкости и гаЗА
[гл. VItt
в ко горой последнее уравнение может служить для определения температуры, если из первых двух уравнений уже предварительно определено поле скоростей.
Если первые два уравнения системы (65) переписать в размерном виде, то они примуг вид (для размерных величин сохранены те же обозначения, что и для безразмерных):
В этой форме уравнения плоского ламинарного слоя были получены впервые Л. Прандтлем в 1904 г.
Установленные системы уравнений на первый взгляд представляются незамкнутыми, так как число неизвестных в них как будто на единицу превышает число уравнений. Так, например, в простейшем случае уравнений (65) имеем три уравнения с четырьмя неизвестными: и,
На самої! деле — и в этом характерная особенность теории пограничного слоя — при больших значениях числа Ro0 распределение давлений в любых точках поперечного сечения пограничного слоя, в том числе и на поверхности обтекаемого тела, совпадает с распределением давлений на внешней границе пограничного слоя, где происходит смыкание пограничного слоя с внешним потенциальным потоком; это распределение давлений р = р(х) предполагается заданным, определенным заранее путем решения задачи о потенциальном обтекании или измеренным экспериментально при помощи дренажных отверстий, расположенных на поверхности обтекаемого цилиндрического тела.
Обозначим через U(x) размерную скорость, соответствующую размерному давлению р (.v); тогда, замечая, что по теореме Бернулли
и переходя к безразмерному коэффициенту давления р и безразмерной скорости и координате, для которых сохраним то же обозначение, чго и для размерных, получим:
ди , ди 1 dp , д2и
и —L ® — =---г V-3--Я-
дх 1 ду р dx 1 ду2
(65')
ди , dv дх ' ду
V, р, Т.
(66)
Подставляя это выражение безразмерной производной давления в систему уравнений пограничного слоя, заменим в них давление на известную функцию U(х). § 85]
ламинарный слой на пластинкй
631
Последнее более удобно, так как функция U (х) входи і, очевидно, в гидродинамические граничные условия задачи:
при у = 0 и = О, v = 0,
при у оо и-+ U(х),
(67)
подробнее о которых будет сказано ниже в связи с рассмотрением простейших задач теории ламинарного пограничного слоя.
§ 85. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно обтекаемой несжимаемой жидкостью. Неизотермическое
движение
Представим себе пластинку AB длины I (рис. 166), продольно обтекаемую безграничным плоским потоком несжимаемой жидкости плотности р со скоростью Voc,. При этом внешний потенциальный поток
\ 1
\ Ух S-Vx
X=I г ——
> ^ В г
—- —.
Рис. 166.
можно рассматривать как однородный с безразмерной скорос гью U= 1 и давлением р = 0. Система уравнений (65) сводится к следующей:
ди , ди и —+ «
дх
ди . dv
__S^u
ду ~ ду~ '
= 0,
(68)
дх і ду а граничные условия будут: при у = O и О -g х 2? /
-и = 0, v = 0; если X < О ИЛИ X > /, то
ди г, п
^J = O, V = O;
при у = CO и любых X
и = 1.
Решение такой задачи представляет непреодолимые трудносіи в силу наличия необходимости удовлетворения условий по оси Ох. Задача эта
34* 532 динамика вязкой жидкости и гаЗа [гл. Vtrt
была упрощена Блязиусом, предложившим рассматривать обтекание бесконечно длинной пластины — луча Ox — и затем уже применять полученное решение к отрезку AB, т. е. удовлетворять приближенным граничным условиям:
при у=0 и л: > 0 и = 0, v = 0,
при у = со и= 1.
(68')
При таком подходе к задаче исчезает характерная длина I, между тем, эта величина входит в определение масштаба поперечных длин
ir 1 « і/
у S= _____ — —___ и поперечных скоростей V -
Tf VJ т R00 VfXj^
v ' ч
Отсюда сразу следует, что искомые безразмерные функции и ev должны зависеть не просто от безразмерных координат * и у, а от такой их комбинации, чтобы при возвращении к размерным координатам выпадала величина /. Такой комбинацией будет:
4= f (у/Ух), «= J=-/ (у1\Пс). (69)
Действительно, переходя при этом к размерным величинам, получим:
I
так что длина / в решениях выпадет. Конечно, в заключительном этапе, при подсчетах сопротивления трения для пластинки длины I, эта длина вновь появится и займет свое место в числе Рейнольдса,
Чтобы свесі и две неизвестные функции U и V или / и / к одной, воспользуемся вторым уравнением системы (68) и введем безразмерную функцию токл ty, положив:
—8- —-й- р°> § 85] ламинарный слой ha пластинке 533
Тогда, вводя новый аргумент rj — ^yr- , будем иметь:
J о о
причем предположено, что при у = 0, у — 0. Используя для краткости обозначение:
Л
2 J /ft) Aj =9(4),
о
найдем такое выражение для ф:
^=Vx9(Tl). (70')
Вычисляя (штрих означает производную но tj):
ду ду 2
да 1 „, . drj 1 „, , ду 2 ду 4 У л
-= — ? 0?)*
ду2 8х ' v ^
ди 1 „ ,, ч д г, 1 у „, ч I ,/ , .
