Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Условимся обозначать через х, у и и, -о (рис. 164) соответственно продольные и поперечные координаты и составляющие скорости в области пограничного слоя. Координаты х и у на самої! деле криволинейны, но при малом значении отношения толщины пограничного слоя к радиусу кривизны поверхности обтекаемого тела, имеющем место на профилях типа крыловых, можно в уравнениях движения пренебречь дополнительными членами, характерными для уравнений в криволинейных координатах, и пользоваться координатами х, у как обычными прямолинейными декарювыми координаыми. § 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО слоя
523
При принятом условии стационарности уравнения плоского движения при отсутствии объемных сил приводят к замкнутой системе уравнений [вспомнить систему (14) § 77]:
ди , ди dp . 4 д ( ди\ 2 д / dv\ ,
PttW + P0 ~ + T ^liJS WaFJ +
+ J-(u -Lflt
^ду\г ду J > ду \ " дх/'
dv . dv dp , d ( du\ . d I dv\ ,
+ заЛ^Зу/ за^І^аГІ'
dp и , dpv „
-аГ+-а7= ' (6°)
„du . 2 dtH . d Г /. , и2 .
+з V-uWI+-^r Y)-
д /1 . и* . 4 v*\ dv . 2 дні „
"^аігІТ+Т+зТІ-^Ж+Т^аі] = 0'
? k ' Jl0 \ій)
Подобно тому, как это было сделано в § 78, перейдем к безразмерной форме этих уравнений, выражая все величины в некоторых характерных для них масштабах, но только в настоящем случае примем во внимание ранее приведенные соображения о различии в пограничном. слое масштабов продольных и поперечных координат и скоростей. Поэтому сохраним для х и и масштабы: I (какой-то характерный для обтекаемого тела размер, например хорда крыла) и Vrco (скорость набегающего потока), а для у и v примем свои, пока еще не определенные масштабы Y и V. Сохраняя остальные обозначения, как в § 78, и не меняя обозначений для безразмерных величин, будем иметь:
'га' со
ди і Za3V00V ди __ 1 PaoVl0 dp ; 4 P00Vc0 d ( du^ Y pxfTFjT — Ш^Ш)'
2 ^ooУ д ґ dv\ ( [LixiVco d / du} | ^ooV д / dv\
3 IY dx V1 ду J~l У- ду Vх dyJ' Wdy Vli дх)' 524 динамика вязкой жидкости и газа [гл. vm
I^Iou ___I + ^ - (V -U
J р-рvdy~ 2 Y dy ^ IY dx^dy)^
. У-оэУ 9 ( dv\ 4 ^00K д / dv\ 2 IieoVco а / ?и\
Pco^oo 5 (ри) , PmVd(PV)
/2 д*
I дх > Y ду
¦О,
TW [р°° {іозі + v°°іг 1/2"т) ¦
(iCO а f'co. , 4 17з "2 , 172°2\
I^coVmу да 2 IXcoK00K а^-1
—F—^ а^г-^ 3-—F—^""ajrJ-b
+TrW [рсо^Р® (iOOi+ vt— + V2¦
/ ) 4 „ V2 \
і-ті+Гсо-т+ї^тг)-
Poo д
-VV-ST
^vtoV dv 2 (x00K00K да
] = 0,
- і Pco Ik-I . /„
P-- 4-і---T=ST-I-
і- I р и2 р k 1 к3 '
2 I OC CO 2 СО
Ij- = г",
где, напоминаем, р, ы, г», г, х, у, р — безразмерные величины,
-P — Pcj3
а р = -j- представляет известный из предыдущего коэффи-
-g-Poo17» циент давлений.
Разделим теперь обе части первых трех уравнений на постоянные коэффициенты при первых членах в левой части, обе части четвер-РгаК і
того — на выражение ю , и заметим еще, как и ранее в § 78,
что:
Poo 1 'со 1 PooKJ
P V2 fsMs ' K2 (к—
Г OO OO OO со ' *
а >
= Ro § 84] уравнения Ламинарного пограничного слоя
тогда будем иметь следующую систему уравнений:
525
ди РИЭ1"
IV
YVn
¦pv
ди dv
LM + ±-L.A
2_ IV
3 "
2 дх dv
3 Rm дх 1
УГоо Rto ах дуП К» I г) ду Vjl ду)
IV
ди \ дх)'
ди\
1 д
YVoo Rot д-У
dv
р
IV dv "РІГ р®--
л w г.
1 /Vco д/> 1 IV1
ду
2 FF ду 1 R00 FF дх \г ду/
dv \
+
1
d ( dv \ ,
IJ— ЛІ. V2 JL/
з Rco UJ ay^dyj
2 1 IV00 д
3 Rco FF д_у
d(pu) . IV d(?v) дх ' YV00 ду
+ (/?- 1)М; 1 . д
4 и2
-[A-
Roo ах 1 /F
R FF
*лга ¦* ' fv-i
- + (A-I)M1
(f
F2 »2\1
ди dy
2 dv — \т —
3 ду
+
I д
V
Y dy j Vc
¦pv
— и-
F r dy
'/+(л—і)мі I
Iu2 I , F2 »2 \
(2 I I у2 ' со
«2 ! 4 F2 v4
2 1 3 Vs у СО Ч
2
AMl
^co со \
-(ф—1), «А ==
дх
2 ди \ З-*1 "dx )
|j = 0,
Приведя, таким образом, уравнения плоского стационарного движения вязкого сжимаемого газа к безразмерному виду, допустим, что анаморфоза, о которой шла речь в начале вывода, действительно возможна: иными словами, допустим, что выбором разных маштабов для размерных продольных и поперечных длин и скоростей в пограничном слое можно добиться конечности всех входящих в уравнения (60') 52Й
ДИН<ШИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ и ГАЗА
|Гл. VlII
безразмерных величин и их безразмерных производных, как бы ни стало велико рейнольдсово число R00.
Обращаясь прежде всего к безразмерному уравнению непрерывности (третьему уравнению предыдущей системы), видим, что для этого следует произвольные пока масштабы Y и V подчинить условию:
= COnst + O(^)f
после чего из первого уравнения системы будет следовать необходимость равенства:
1
R,,
(т)2=С0П5*+°Ш-
так как в противном случае из уравнения продольного движения в пограничном слое совершенно исчезнеї влияние вязкости. Выбирая в двух предыдущих равенствах константы равными единицам, положим, чтобы удовлетворить обоим равенствам:
VrR0
(61)
Отсюда следует закон убывания масштабов толщин и поперечных скоростей в пограничном слое: с возрастанием рейнольдсова числа поперечные размеры и скорости в пограничном слое изменяются обратно пропорционально корню квадратному из рейнольдсова числа. Это соотношение прекрасно подтверждается опытом.
