Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
8
рэ=р.р= 2 р%-
г,з=1
Формула эта по своей конструкции аналогична известной формуле квадрата модуля вектора.
Разложим дифференциальный тензор D на симметричную и антисимметричную части, положив (звездочка, так же как и в гл. I, обозначает сопряженный тензор):
D= S+ A, S=-^-(Z)+D*), i=y(D —D*), или в проекциях:
л 4-А
uV ~~ dxt — 2 V дхі "т~ dxj ' 2 V дх і dXj) — т" 518
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
Тогда будем иметь (Рц — Pji):
з
i.j=1 3 і,} = 1 = 1 Легко сообразить, что, в силу условия антисимметричности
Atj = — A1i, последняя сумма равна нулю:
8
P-A= 2 ^A=0-
і. 3=1
Таким образом, вместо (54) получим
PiVin = - P ¦ S = - І PvSlj, (56)
т. е. отнесенная к единице объема мощность внутренних поверхностных сил равна взятому с обратным знаком скалярному произведению тензора напряжений на тензор скоростей деформаций.
Этот, представленный формулой (56) результат имеет общее значение для любого течения сплошной среды, независимо от того, подчиняются ли напряжения обобщенному закону Ньютона или нет.
Обращаясь теперь к случаю ньютоновской жидкости или газа, для которых справедливо линейное соотношение (11) § 76 настоящей главы, будем иметь по (56) и (11):
PNill = — 2^2-j- (р + ~ J1 div V) 6 ¦ І.
Вычислим скалярное произведение тензорной единицы S на тензор скоростей деформаций S; тогда получим (Bij = O при і ф j, бгі = 1):
S 3 8
г,J = 1 г = 1 і —г
и, окончательно, найдем искомое выражение мощности:
uNwl = - 2u52 + р div V+ 1 jx (div Vj-'. (57)
Во втором слагаемом pdivV узнаем мощность, затраченную силами давления на расширение газа (вспомнить § 24). Остальные два слагаемых представляют отнесенную к единице объема мощность, дисси-пированную за счет работы сил вязкости (внутреннего грения):
рМшс = - 2pS» ~ і* (div V)2. (58) § 84] уравнения ламинарного пограничного слоя 519
В частном случае движения несжимаемой жидкости будем иметь:
з
рNme = - — — 2[х ^Silj =
і,}*= і
—*[<Ш'+(S)*+(?)'+
JL 1 (dw dV\* I 1 (ди I ^f I 1 (dv I a«\2] /CQA
Как видно из последней формулы, представляющей диссипирован-ную мощность в форме суммы квадратов, энергия в несжимаемой жидкости не диссипируется только при квазитвердом движении жидкости, т. е. в том единственном случае, когда все отдельные скорости деформации (удлинений, сдвигов) порознь равны нулю. Отсутствие завихренности не предохраняет вязкую жидкость от потерь энергии на трение.
Вернемся теперь к общему уравнению теплового баланса, выведенному еще во второй главе [формула (45) § 16]. Согласно (53), уравнение теплового баланса принимает вид:
P (Kt) = Jn — ?Nin
или, подставляя явные выражения для q [формула (48) гл. II] и Nin по (57),
р Jj(JcvT) = /div (X grad 7) — р div V -f 2^52-—-1 р, (div V)2. (59)
Из уравнения (59) следуеі, что индивидуальное изменение отнесенной к единице массы внутренней энергии (а следовательно, температуры) движущейся частицы вязкого сжимаемого газа происходит за счет: 1) теплопроводности, 2) нагревания газа вследствие его сжатия и 3) превращения в тепло работы сил вязкого і рения.
§ 84. Обтекание тел жидкостью и газом при больших значениях числа Рейнольдса. Основные уравнения теории ламинарного пограничного слоя
В основных задачах, выдвигаемых перед гидроаэродинамикой, авиацией, кораблестроением, турбомашиностроением и другими областями техники, приходится иметь дело с обтеканием тел при больших значениях числа Рейнольдса.
Представим себе некоторое тело (рис. 164), плавно обтекаемое вязкой жидкостью или газом. Будем увеличивать число Рейнольдса, изменяя для этого сооївеїсівующим образом или плотность и вязкость 520
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VlII
среды, или переходя к геометрически подобному и подобно расположенному телу ббльшего размера, или, наконец, увеличивая скорость набегающего потока. Ограничим способы увеличения рейнольдсового числа лишь одним условием, чтобы число М, характеризующее влияние сжимаемости среды, при этом либо сохраняло неизменное значение, либо менялось в области тех малых своих значений, когда влияние сжимаемости не существенно. Наблюдаемое вблизи поверхности неподвижного обтекаемого тела возрастание скорости от нуля непосредственно на самой поверхности тела до величины порядка скорости набегающего потока в некотором удалении от тела будет при больших значениях числа Рейнольдса сосредоточено в весьма тонкой по сравнению с размерами обтекаемого тела области, причем при росте
Рис. 164.
числа Рейнольдса толщина области все более и более уменьшается. Эта образующаяся только при больших значениях числа Рейнольдса, расположенная вблизи поверхности гела область движения вязкой жидкости называется пограничным слоем.
С кинематической стороны область пограничного слоя замечательна тем, что в ней практически сосредоточено все вихревое движение набегающей жидкости, а вне ее движение можно считать потенциальным, безвихревым. Действительно, в пограничном слое, как только что было отмечено, касательные к поверхности тела скорости меняются очень резко, а следовательно, их производные по нормали к поверхности обтекаемого тела очень велики, что приводит к большой интенсивности завихренности жидкости, проходящей сквозь область пограничного слоя. Наоборот, на внешней границе пограничного слоя и вне его эти производные становятся сравнительно малыми, и завихренностью внешнего по отношению к пограничному слою потока можно пренебрегать. Как уже упоминалось в начале гл. V, именно этим объясняется, почему при реальных обтеканиях столь хорошо оправдываются результаты расчетов обтеканий, произведенных по теории безвихревого движения идеальной жидкости. При движении тела сквозь неподвижную жидкость или, что все равно, при набегании на него однородного на бесконечности потока, скорости деформаций, входящие в члены уравнений (14) настоящей главы и содержащие коэффициент § 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО слоя 521
