Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
А>+1
1B.
udu
(и— 1) (м — м2)
(51)
Выполнение квадратуры справа зависит от числового значения величины п.
Общий характер кривой скорости и (с) показан на рис. 162. Левая и правая ветви кривой настолько быстро асимптотически стремятся к значениям M1 = 1 и U2, что на самом деле фактическая ширина области, где происходит' переход, очеиь мала. Примем за меру толщины левого переходного участка среднюю интегральную величину
й=( и
Xt=^z -V^Sv ы
0 й=йг
и
.....Г
і -Yui J
(1 —u)di,
равную отношению заштрихованной на Рис. 162. рис. 162 левой части площади к макси-
мальной разности ординат I — Y~u% на этом участке. Аналогично определим толщину правого переходного участка как
У
H2-H2
(м — щ) di. § 82]
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ вязкого ГаЗА
515
Полная „толщина" области перехода сверхзвукового течения в дозвуковое будет равна:
A = A1 -j- A3 =
¦9 =-Ц= Г(1 -И) « + 17=?-= Г (и- Ui) di. (52)
1 — У щ J У «2-Щ. •>
—со " О
Фактическое выполнение квадратур зависит от значения показателя степени п в законе связи между коэффициентом вязкости и температуры или теплосодержания.
На рис. 163 приведены составленные А. Е. Головиной кривые изменения толщины скачка А, выраженной в частях длины свободного пробега молекулы
Л = 1,255 Yk-
Pi а і
(;j.1( p1, a1 — скорость звука, вязкость, плотность на бесконечности вверх по течению), в функции от числа М, при различных п. На основании приведенных графиков можно заключить, что „толщина* скачка уплотнения имеет порядок длины свободного пробега, исключая значения Mjj близкие к единице, или очень большие Mi (при п — 1). Экспериментальная проверка этого факта очень затруднительна, так как границы скачка в силу его колебательных перем< цеиий бывают обычно размыты и не поддаются фотографированию даже при очень малых временах экспозиции.
С точки зрения изложенной только что теории становится ясной причина указанного еще в гл. IV возрастания в скачке уплотнения энтропии. Прирост энтропии служит указанием на наличие в области перехода сверхзвукового потока в дозвуковой потерь механической энергии, превращающейся за счет внутреннего трения в тепло. Общая формула диссипируемой в тепло энергии при движении вязкого сжимаемого газа будет выведена в следующем параграфе.
Тот факт, что „толщина" скачка уплотнения имеет порядок длип -свободного пробега молекулы, может вызвать сомнение в возможности вообще пользоваться в этом случае обычными уравнениями движения вязкого сжимаемого газа.
Частные случаи рассмотренной задачи были исследованы Гамелем (с = оо)
/ 3
и Прандтлем (с = 0), а затем Релеем и Беккером f с = — , п = 0, коэффициент вязкости не зависит от температуры).1
Рис. 163.
1 См. Handbucli der Physik, Bd. VII, 1927, S. 328—330. 33* 5l6 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ жидкости И ГАЗА [гл. Vni
§ 83. Работа внутренних сил и диссипация механической энергии в движущейся вязкой среде
Работа внутренних сил трения (вязкости) вызывает в движущейся жидкости затрату некоторой мощности, превращающейся (диссипирую-щейся) в тепло. Чтобы найти количественное выражение этой мощности, применим прием, аналогичный принятому в § 24 гл. III для идеального газа.
Составим выражение изменения кинетической энергии в некотором объеме жидкости т, ограниченном поверхностью о:
Tt J1^T rfT = J Pp' Vrfc + / P- •Vda + JP7v- dx'
•г ч в х
здесь Nin представляет величину отнесенной к единице массы мощности всех внутренних поверхностных сил, включая сюда как давления, так и силы трения (внутренними объемными силами, как например, силами тяготения, пренебрегаем).
Преобразуя полученную формулу известным уже по предыдущему образом, найдем:
JTt (-T)'dz= J Pp • Vdx+ JпР' v 1dQ+ J'pNin dx =
X т QX
= j pF. Vdz + Jn - PV do 4- Jp Nin dz =
to t
= JpF- Vdx-f Jdiv (PV) dz + j*pNin dz.
D г -с
Используя произвольность выбора объема т, получим то же выражение в дифференциальной форме:
pw(t) = pF-V+div(PV)+PJV(n. (53)
С другой стороны, умножая скалярно обе части основного динамического уравнения „в напряжениях"
P^ = pF + DivP
на V, будем иметь:
PV . f = р = PF • V + V . Div Р. (53') § 83] РАБОТА ВНУТРЕННИХ сил И ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ 517
Вычитая почленно обе части уравнения (53') из уравнения (53) > получим искомое выражение Nin в виде:
PNin = V - DiV P — div (PV). (54)
Выразив правую часть через декартовы компоненты входящих в нее векторов и тензоров, проведем следующее упрощение (координаты х, у, г заменены на X1, х2, X3):
s s
V • DivP div (PV) = ^ Vi (DivP)t - {Pv).=
8 8 dP 8 д 8 5^S Jxi ~ 2 PJiVi) =
?=1 J ^=I J ?=і
— V fx/dJjl-Vi^-P ?^__V P ?^
~ Zd Vidxj < dxj ^dxj J ~ Li jidxi i,j = l i,j=l
Последняя двойная сумма, если вспомнить принятое в гл. I обозначение дифференциального тензора D^i = , представляет инвариантную комбинацию компонент тензоров PuD:
2 PjiDji = P-D, (55)
і,3 = 1
называемую скалярным произведением двух тензоров.
В частном случае двух равных тензоров такое произведение дает квадрат модуля тензора, определяемый как сумма квадратов всех компонент тензора:
