Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Лойцянский Л.Г. -> "Механика жидкости и газа" -> 174

Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва, 1960. — 676 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkostiigaza1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 231 >> Следующая


ри = Px U1,

3

а третье, если в нем положить для простоты о = , интеграл

¦ Ua «Ї

Пользуясь предыдущим интегралом и уравнением Клапейрона, перепишем первое уравнение системы (49) в интегрируемой форме:

du k—\ d ... . 4 d ( du\

plWl ---Г~ te W + TdZ^dt)'

что сразу даст интеграл

k—1..4 du . з . k — 1

P1M1M =--^-pt + j [А — + P1K1 H----P1M1

или

4 du . . , k — 1 , . "3 ^dx = plHl ~ Иі) --~(pt ~~

При составлении последнего интеграла, кроме ранее принятых граничных

условий, использовано еще условие равенства нулю производной ~ при

X = — ос, вытекающее из конечности скорости на бесконечности.

Выражая в последнем уравнении р черга і, согласно последнему равенству (49), а / и р — через и, согласно предыдущим интегралам, получим основное дифференциальное уравнение для определения скорости и как функции от х:

4 [ь+і»ї-іїи*\паи -lilV-jI-=

k— 1 Г р.м / t& и1 \ "1

¦ Р1«1 (U -«!) + — [-V- ('1 +-T--2-)-РЙ J.

(50)

Прежде чем интегрировать полученное обыкновенное уравнение 1-го порядка, упростим его, перевдя к безразмерным координатам:

J =UM., U = JL. w «і 512 ДИНАМИКА вязкой жидкости И ГАЗА

Будем иметь, деля обе части уравнения (50) на P1U^

iL л-!—! Эк»

41 4 2 2

dx k Lu Vwj

{гл. vin



или, замечая, что по формулам гл. IV: L JcmT- а

получим

4(14

-Mf-

i (ft-1 1 / dx

к— і м2 —я—Mf

MfP _ (1 + шЬїї+1 + ^zii M13

(50')

Определим корни числителя в правой части, чтобы узнать, при каких значениях и производная от скорости обращается в нуль; для этого решим квадратное уравнение

+ жІ)й+1+= о.

Корни этого уравнения будут:

(1 + feMj)3 — 4• 1 (І ¦



(ft+DMf

1 + ЛМ|± (I-Mf) (ft+l)M.3

Введем пока лишь для краткости обозначение

ft—1

мт

Ш-м2

9 1 1i



1+1 м*

= «2.

смысл которого вскоре станет ясен. Тогда дифференциальное уравнение (SO') можно переписать в следующем, более компактном виде:

U2-

A--I-у»

ft +

1— \я Ttifi)

и Ли

(U-I)(M-U2)

/ft+І

V 1 — П

4ftMf\ 2



(50") § 82] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ вязкого гаЗа 513

Предположим, что U2 <1 или, согласно принятому обозначению, 1+^-Mf

~T±T^r<h м,>1;

иными словами, предположим, что вначале, при х~ — со, ноток был сверхзвуковым. _Тогда, как зто_ видно непосредственно из уравнения (50"), прн изменении и !^интервале %<«С 1 аргумент х будет изменяться в интервале — оэ<д:<со. Рассматриваемые дифференциальные уравнения (49) нмеюі, следовательно, и не тривиальное решение, соответствующее убыванию безразмерной скорости и от значения Ht = 1 на бесконечности вверх по течению с числом_М1 большим единицы (движение сверхзвуковое) до некоторого значения M2 на бесконечности вниз по течению. Легко показать, что при и — и2 поток будет дозвуковым (M2Cl). Для эгого используем полученный в числе первых интегралов интеграл энергии

S 1

U1 U1

'Vf =M-^-,

из которого по предыдущему сразу следует.

Ku? 1

(A-I)Mf L(^-I)Mf 2J и% 2

H C1
и\ U
і П і
1 2 J =2
( ^ + 1 ,

2

1 ¦ П 1 1

1J

A — 1 , А + 1 *я2 \2 ...» А —1

1 -1---PT1-M12 / —W1 \ AMj-



или

мр

14- M^ AM? k~1

Ч

В последней формуле нетрудно узнать выведенное еще в § 32 гл. IV соотношение между числами M1 и M2 до и после прямого скачка уплотнения [формула (77) § 32]. Отсюда сразу следует, что М2<1.

Итак, рассматриваемое не тривиальное решение системы (49) представляет не что иное как переход от сверхзвукового движения к дозвуковому в прямолинейном одномерном потоке вязкого сжимаемого газа. Нетрудно Убедиться в том, что не только числа М, ио и температуры, плотности и давления на бесконечности вверх и вниз по течению связаны между собою теми же соотношениями, что в теории прямого скачка уплотнения, изложенной в гл. IV для газа без внутреннего трения. Разница здесь в том, что в идеальном газе скачок уплотнения представлял некоторую нормальную к линиям тока поверхность разрыва элементов движущегося газа, причем само явление скачка приходилось рассматривать как предельное образование,

33 Зак. 1841. Л Г. Лойцянскнй 514

Динлмикл ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

[ГЛ. VlIl

не допускающее описания При помощи непрерывных решений уравнений движения. В вязком газе, наоборот, явление перехода сверхзвукового потока в дозвуковой описывается непрерывным решением уравнений движения, а именно интегралом дифференциального уравнения (50") в области движения (—оэ < х < -}- со). Покажем, что, практически, эта область перехода сверхзвукового потока в дозвуковой имеет очень малую протяженность, зависящую от параметров потока и, в первую очередь, от Mi- Вернемся к уравнению (50") и, пользуясь имеющимся произволом в выборе начала отсчета абсцисс х, поместим начало координат в ту точку, где скорость и равна критической скорости а*, соответствующей параметрам потока вверх по течению. Тогда, вводя еще для краткости дополнительное обозначение

3 /л+іх1-" -4/?Mf 4 2/

х = с,

будем иметь:

при X — 0 или 5 = 0 и:

«1

/



Интегрируя от этих значений и = Vm2 и ; = 0, получим:
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 231 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed