Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ри = Px U1,
3
а третье, если в нем положить для простоты о = , интеграл
¦ Ua «Ї
Пользуясь предыдущим интегралом и уравнением Клапейрона, перепишем первое уравнение системы (49) в интегрируемой форме:
du k—\ d ... . 4 d ( du\
plWl ---Г~ te W + TdZ^dt)'
что сразу даст интеграл
k—1..4 du . з . k — 1
P1M1M =--^-pt + j [А — + P1K1 H----P1M1
или
4 du . . , k — 1 , . "3 ^dx = plHl ~ Иі) --~(pt ~~
При составлении последнего интеграла, кроме ранее принятых граничных
условий, использовано еще условие равенства нулю производной ~ при
X = — ос, вытекающее из конечности скорости на бесконечности.
Выражая в последнем уравнении р черга і, согласно последнему равенству (49), а / и р — через и, согласно предыдущим интегралам, получим основное дифференциальное уравнение для определения скорости и как функции от х:
4 [ь+і»ї-іїи*\паи -lilV-jI-=
k— 1 Г р.м / t& и1 \ "1
¦ Р1«1 (U -«!) + — [-V- ('1 +-T--2-)-РЙ J.
(50)
Прежде чем интегрировать полученное обыкновенное уравнение 1-го порядка, упростим его, перевдя к безразмерным координатам:
J =UM., U = JL. w «і 512 ДИНАМИКА вязкой жидкости И ГАЗА
Будем иметь, деля обе части уравнения (50) на P1U^
iL л-!—! Эк»
41 4 2 2
dx k Lu Vwj
{гл. vin
или, замечая, что по формулам гл. IV: L JcmT- а
получим
4(14
-Mf-
i (ft-1 1 / dx
к— і м2 —я—Mf
MfP _ (1 + шЬїї+1 + ^zii M13
(50')
Определим корни числителя в правой части, чтобы узнать, при каких значениях и производная от скорости обращается в нуль; для этого решим квадратное уравнение
+ жІ)й+1+= о.
Корни этого уравнения будут:
(1 + feMj)3 — 4• 1 (І ¦
(ft+DMf
1 + ЛМ|± (I-Mf) (ft+l)M.3
Введем пока лишь для краткости обозначение
ft—1
мт
Ш-м2
9 1 1i
1+1 м*
= «2.
смысл которого вскоре станет ясен. Тогда дифференциальное уравнение (SO') можно переписать в следующем, более компактном виде:
U2-
A--I-у»
ft +
1— \я Ttifi)
и Ли
(U-I)(M-U2)
/ft+І
V 1 — П
4ftMf\ 2
(50") § 82] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ вязкого гаЗа 513
Предположим, что U2 <1 или, согласно принятому обозначению, 1+^-Mf
~T±T^r<h м,>1;
иными словами, предположим, что вначале, при х~ — со, ноток был сверхзвуковым. _Тогда, как зто_ видно непосредственно из уравнения (50"), прн изменении и !^интервале %<«С 1 аргумент х будет изменяться в интервале — оэ<д:<со. Рассматриваемые дифференциальные уравнения (49) нмеюі, следовательно, и не тривиальное решение, соответствующее убыванию безразмерной скорости и от значения Ht = 1 на бесконечности вверх по течению с числом_М1 большим единицы (движение сверхзвуковое) до некоторого значения M2 на бесконечности вниз по течению. Легко показать, что при и — и2 поток будет дозвуковым (M2Cl). Для эгого используем полученный в числе первых интегралов интеграл энергии
S 1
U1 U1
'Vf =M-^-,
из которого по предыдущему сразу следует.
Ku? 1
(A-I)Mf L(^-I)Mf 2J и% 2
H C1
и\ U
і П і
1 2 J =2
( ^ + 1 ,
2
1 ¦ П 1 1
1J
A — 1 , А + 1 *я2 \2 ...» А —1
1 -1---PT1-M12 / —W1 \ AMj-
или
мр
14- M^ AM? k~1
Ч
В последней формуле нетрудно узнать выведенное еще в § 32 гл. IV соотношение между числами M1 и M2 до и после прямого скачка уплотнения [формула (77) § 32]. Отсюда сразу следует, что М2<1.
Итак, рассматриваемое не тривиальное решение системы (49) представляет не что иное как переход от сверхзвукового движения к дозвуковому в прямолинейном одномерном потоке вязкого сжимаемого газа. Нетрудно Убедиться в том, что не только числа М, ио и температуры, плотности и давления на бесконечности вверх и вниз по течению связаны между собою теми же соотношениями, что в теории прямого скачка уплотнения, изложенной в гл. IV для газа без внутреннего трения. Разница здесь в том, что в идеальном газе скачок уплотнения представлял некоторую нормальную к линиям тока поверхность разрыва элементов движущегося газа, причем само явление скачка приходилось рассматривать как предельное образование,
33 Зак. 1841. Л Г. Лойцянскнй 514
Динлмикл ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VlIl
не допускающее описания При помощи непрерывных решений уравнений движения. В вязком газе, наоборот, явление перехода сверхзвукового потока в дозвуковой описывается непрерывным решением уравнений движения, а именно интегралом дифференциального уравнения (50") в области движения (—оэ < х < -}- со). Покажем, что, практически, эта область перехода сверхзвукового потока в дозвуковой имеет очень малую протяженность, зависящую от параметров потока и, в первую очередь, от Mi- Вернемся к уравнению (50") и, пользуясь имеющимся произволом в выборе начала отсчета абсцисс х, поместим начало координат в ту точку, где скорость и равна критической скорости а*, соответствующей параметрам потока вверх по течению. Тогда, вводя еще для краткости дополнительное обозначение
3 /л+іх1-" -4/?Mf 4 2/
х = с,
будем иметь:
при X — 0 или 5 = 0 и:
«1
/
Интегрируя от этих значений и = Vm2 и ; = 0, получим:
