Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
дй dt'
принадлежит к параболическому типу. Нашей задаче удовлетворяет простейшее его решение (A = const):
A
Q=Ye (47)
в чем легко убедиться простой подстановкой этого выражения в уравнение (46') и ранее указанные начальное и граничное условия. Чтобы найти величину А, воспользуемся теоремой Стокса и напишем, что в любой момент времени интенсивность вихревой трубки радиуса г*
J S • 2гт* dr-
о
равна циркуляции скорости по окружности радиуса г*
V • 2тгг*.
Будем иметь:
V і і л — "
= 2^/4* M-2nr*dr*=??(l-e Щ, (48)
или, сравнивая с начальным распределением скоростей
при t=0 v = -^,
найдем
Таким образом, будем иметь окончательные формулы: распределения вихря
Г е (47')
4пчіІ 8І] ВИХРЕВЫЕ ЛЙНЙИ Й ИДЕАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 509
и распределения скоростей
V--
2itr*
f±
м у
(48')
Проанализируем полученные результаты. В начальный момент времени t = О движение повсюду (/-'• > О) было безвихревым. После удаления источника завихренности, т. е. в любой момент t > О, во всем пространстве мгновенно возникла завихренность, распределение которой представляется быстро убывающей с возрастанием расстояния г* функцией (47'). Завихренность в центре (г* = О) монотонно убывает с ростом времени, а в точке, находящейся на некотором расстоянии от центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля при t= оо.
Рассмотрим какую-нибудь окружность pa-диуса г* = а; изменение Q л со временем завихренности в точках этой окружности представится функцией (47') в виде:
(Q)^a = -е~
а?
Исследуя эту функцию на максимум или минимум, легко заключим,
что в момент времени й2
— 4^ завихренность
достигнет своего максимального значения:
Г г
Ttea2 :
Q ^m ^m ^m ^m при дальнейшем возрастании времени завихрен- Рис. 160. ность будет убывать.
Об общем характере зависимости от времени завихренности в точках, находящихся на разных расстояниях от центра, можно судить по кривым, приведенным на рис. 160.
Кривые распределения скоростей в различные последовательные моменты времени приведены на рис. 161.
Пользуясь полученными формулами и графиками, можно составить общее представление о явлении диффузии единичного вихря в безграничной вязкой жидкости. Несколько более сложно с математической стороны решается вопрос о диффузии в безграничной вязкой жидкости вихревой трубки конечных размеров, а также плоского и цилиндри-509
Динамика вязкой жидкости и газа
[гл. viii
ческого вихревого слоя.1 Отметим интересное физическое явление: диффузия вихревой трубки тем значительнее, чем меньше ее диаметр. Благодаря вязкости, быстрее всего затухают мелкие вихри.
Обратим вновь внимание на тот существенный факт, что при любом г* и со 2-э-О и 1/-Э-0. Иными словами, заданное в начальный момент движение с течением времени затухает, а вся его кинетическая энергия рассеивается, превращаясь в тепло.
§ 82. Одномерное прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа. Движение внутри скачка уплотнения. Понятие о толщине скачка
В предыдущих простейших примерах движения по цилиндрической трубе, равномерного и прямолинейного движения шара, диффузии вихревой нити Рис. 161. были рассмотрены движения несжимае-
мой вязкой жидкости. Интегрирование уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости представляет большие математические трудности. Простейшим примером такого ^рода движения служит одномерное прямолинейное движение; этот, иа первый взгляд совершенно тривиальный случай оказывается, однако, весьма интересным, так как поясняет внутренний механизм явления „скачка уплотнения" или „ударной волны".
Рассмотрим прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа, параллельное оси Ox и направленное в положительную сторону оси; из трех компонент скорости (к, V, w) при этом остается лишь одна и; будем предполагать движение стационарным и одномерным, зависящим лишь от одной координаты дг. Выведенные в § 77 дифференциальные уравнения движения, вместе с уравнениями баланса энергии, уравнением Клапейрона и уравнением зависимости коэффициента вязкости от температуры в этом случае значительно упростятся и примут вид:
du pu^-="
dx + 3 dx V-dx)'
dx
(pu) = 0,
J-
dx
JL=CJ-Yt h ViJ '
k—i
(49)
1 См. по этому поводу: И. А. К и б e л ь, H. E. К о ч и н и Н. В. Po з е, Теоретическая гидромеханика, ч. II, стр. ,350—357; W. Miiller, Einffth-rung in die Theorie der zahen Fliissigkeiten. Leipzig, 1932, стр. 113—120.§ 82] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ вязкого ГаЗА 511
Имеем замкнутую систему пяти уравнений с пятью неизвестными: и, р, р, |j., L Исследуем интегралы этих уравнений, конечные прн х = ± со.
Прежде всего заметим, что уравнения (49) допускают тривиальные интегралы:
U = U1, p=pi, P = Pu ^ — Hi. 1 = 11.
где индексом .1" обозначены и будут в дальнейшем обозначаться постоянные, равные соответствующим значениям всех величин при X = — оо. Этим тривиальным интегралам соответствует однородный поток во всем пространстве (— оо < д: + оо).
Однако это решение, удовлетворяющее условию конечности всех элементов при х = ± оо, не единственное; существует и другое — не тривиальное решение системы (49). Для разыскания этого решения заметим, что второе уравнение системы (49) имеет очевидный интеграл