Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Лойцянский Л.Г. -> "Механика жидкости и газа" -> 173

Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва, 1960. — 676 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkostiigaza1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 231 >> Следующая


дй dt'



принадлежит к параболическому типу. Нашей задаче удовлетворяет простейшее его решение (A = const):

A

Q=Ye (47)

в чем легко убедиться простой подстановкой этого выражения в уравнение (46') и ранее указанные начальное и граничное условия. Чтобы найти величину А, воспользуемся теоремой Стокса и напишем, что в любой момент времени интенсивность вихревой трубки радиуса г*

J S • 2гт* dr-

о

равна циркуляции скорости по окружности радиуса г*

V • 2тгг*.

Будем иметь:

V і і л — "

= 2^/4* M-2nr*dr*=??(l-e Щ, (48)

или, сравнивая с начальным распределением скоростей

при t=0 v = -^,

найдем

Таким образом, будем иметь окончательные формулы: распределения вихря

Г е (47')

4пчі І 8І] ВИХРЕВЫЕ ЛЙНЙИ Й ИДЕАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 509

и распределения скоростей

V--

2itr*



м у

(48')

Проанализируем полученные результаты. В начальный момент времени t = О движение повсюду (/-'• > О) было безвихревым. После удаления источника завихренности, т. е. в любой момент t > О, во всем пространстве мгновенно возникла завихренность, распределение которой представляется быстро убывающей с возрастанием расстояния г* функцией (47'). Завихренность в центре (г* = О) монотонно убывает с ростом времени, а в точке, находящейся на некотором расстоянии от центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля при t= оо.

Рассмотрим какую-нибудь окружность pa-диуса г* = а; изменение Q л со временем завихренности в точках этой окружности представится функцией (47') в виде:

(Q)^a = -е~

а?

Исследуя эту функцию на максимум или минимум, легко заключим,

что в момент времени й2

— 4^ завихренность

достигнет своего максимального значения:

Г г





Ttea2 :

Q ^m ^m ^m ^m при дальнейшем возрастании времени завихрен- Рис. 160. ность будет убывать.

Об общем характере зависимости от времени завихренности в точках, находящихся на разных расстояниях от центра, можно судить по кривым, приведенным на рис. 160.

Кривые распределения скоростей в различные последовательные моменты времени приведены на рис. 161.

Пользуясь полученными формулами и графиками, можно составить общее представление о явлении диффузии единичного вихря в безграничной вязкой жидкости. Несколько более сложно с математической стороны решается вопрос о диффузии в безграничной вязкой жидкости вихревой трубки конечных размеров, а также плоского и цилиндри- 509

Динамика вязкой жидкости и газа

[гл. viii

ческого вихревого слоя.1 Отметим интересное физическое явление: диффузия вихревой трубки тем значительнее, чем меньше ее диаметр. Благодаря вязкости, быстрее всего затухают мелкие вихри.

Обратим вновь внимание на тот существенный факт, что при любом г* и со 2-э-О и 1/-Э-0. Иными словами, заданное в начальный момент движение с течением времени затухает, а вся его кинетическая энергия рассеивается, превращаясь в тепло.

§ 82. Одномерное прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа. Движение внутри скачка уплотнения. Понятие о толщине скачка

В предыдущих простейших примерах движения по цилиндрической трубе, равномерного и прямолинейного движения шара, диффузии вихревой нити Рис. 161. были рассмотрены движения несжимае-

мой вязкой жидкости. Интегрирование уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости представляет большие математические трудности. Простейшим примером такого ^рода движения служит одномерное прямолинейное движение; этот, иа первый взгляд совершенно тривиальный случай оказывается, однако, весьма интересным, так как поясняет внутренний механизм явления „скачка уплотнения" или „ударной волны".

Рассмотрим прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа, параллельное оси Ox и направленное в положительную сторону оси; из трех компонент скорости (к, V, w) при этом остается лишь одна и; будем предполагать движение стационарным и одномерным, зависящим лишь от одной координаты дг. Выведенные в § 77 дифференциальные уравнения движения, вместе с уравнениями баланса энергии, уравнением Клапейрона и уравнением зависимости коэффициента вязкости от температуры в этом случае значительно упростятся и примут вид:

du pu^-="

dx + 3 dx V-dx)'

dx

(pu) = 0,

J-

dx

JL=CJ-Yt h ViJ '

k—i

(49)

1 См. по этому поводу: И. А. К и б e л ь, H. E. К о ч и н и Н. В. Po з е, Теоретическая гидромеханика, ч. II, стр. ,350—357; W. Miiller, Einffth-rung in die Theorie der zahen Fliissigkeiten. Leipzig, 1932, стр. 113—120. § 82] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ вязкого ГаЗА 511

Имеем замкнутую систему пяти уравнений с пятью неизвестными: и, р, р, |j., L Исследуем интегралы этих уравнений, конечные прн х = ± со.

Прежде всего заметим, что уравнения (49) допускают тривиальные интегралы:

U = U1, p=pi, P = Pu ^ — Hi. 1 = 11.

где индексом .1" обозначены и будут в дальнейшем обозначаться постоянные, равные соответствующим значениям всех величин при X = — оо. Этим тривиальным интегралам соответствует однородный поток во всем пространстве (— оо < д: + оо).

Однако это решение, удовлетворяющее условию конечности всех элементов при х = ± оо, не единственное; существует и другое — не тривиальное решение системы (49). Для разыскания этого решения заметим, что второе уравнение системы (49) имеет очевидный интеграл
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 231 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed