Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Лойцянский Л.Г. -> "Механика жидкости и газа" -> 172

Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва, 1960. — 676 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkostiigaza1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 231 >> Следующая


Если использовать формулу (жидкость несжимаема)

rot(QXV) = (V-V)Q — (Q-V)V

и заметить, что в силу независимости операций частного дифференцирования по времени и в пространстве

,dV д ... dQ rot = -jrr rot V = -S7, at ot dt'

получим следующее обобщение уравнения Гельмгольца на случай несжимаемой вязкой жидкости:

^7 + (V- V)Q — (Q- V)V = — vrotrotQ,

или, собирая первые члены в общий символ индивидуальной производной,

^ = (Q-V)V-vrotrotQ. (45)

1A. А. Фридман, Опыты гидромеханики сжимаемой жидкости. 1934, 506

динамика вязкой жидкости и газа

1«"л. vni

В силу ранее уже применявшейся формулы векторного анализа rot rot Q = grad div Q — V8Q, перепишем (45) еще в таком виде:

= (S-V) V+VV2Q. (45')

Сравнивая уравнения индивидуального изменения вихря в вязкой жидкости (45) или (45') с уравнением соответствующего изменения вихря в идеальной жидкости (44), видим, что в уравнениях вязкой жидкости присутствует дополнительный член

— VrotrotQ = VV2Q,

пропорциональный кинематическому коэффициенту вязкости. Как сейчас будет показано на простом примере, этот член характеризует рассеяние или диффузию вихря в вязкой жидкости.

Если бы мы попытались повторить только что приведенное доказательство георемы Гельмгольда о сохраняемости вихревых линий в идеальной жидкости в случае вязкой жидкости, то легко убедились бы, что в результате появления дополнительного члена диффузии vV2Q жидкий отрезок JH1Mf1, представляющий новое положение рассматриваемой вихревой линии, уже не соответствовал бы индивидуальному изменению вихря, характеризующему сохранение вихря, как некоторого индивидуального образования. Завихренность в вязкой жидкости передается смежным жидким частицам и постепенно рассеивается во всем объеме жидкости. В вязкой жидкости вихревые линии разрушаются.

Если в покоящейся вязкой жидкости создать изолированную вихревую трубку, то жидкие частицы, расположенные внутри трубки, увлекут за собой во вращение частицы окружающей трубку жидкости, так что постепенно весь объем жидкости придет во вращательное движение. Вместе с тем механическая энергия будет рассеиваться, превращаться за счет работы сил внутреннего трения в тепло, а вращательное движение ослабевать до тех пор, пока жидкость не станет неподвижной. В этом процессе, частный случай которого сейчас будет рассмотрен подробнее с количественной стороны, имеет место как разрушение начально созданных вихревых линий, так и создание новых, затем в свою очередь разрушающихся вихревых линий.

Чтобы проиллюстрировать применение общего уравнения (45'), рассмотрим простейшую задачу о диффузии прямолинейной вихревой линии в безграничной вязкой жидкости.

Дадим следующую постановку этой задачи. Пусть в некоторый начальный момент времени ? = 0 в несжимаемой вязкой жидкости имеется бесконечная прямолинейная вихревая нить с циркуляцией Г. ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ B ИДЕАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

507

Легко убедиться в том, что хорошо известное нам по теории плоского безвихревого движения решение, представленное круговым движением частиц с распределением скоростей

имеет место и в случае движения безграничной вязкой жидкости. В самом деле, движение это безвихревое, а следовательно, повсюду вокруг вихревой линии Й = 0; уравнения вязкой жидкости при этом ничем не отличаются от уравнений Эйлера, а единственное граничное условие V—*¦ 0 при г* -у со одинаково выполняется в обоих случаях. Разница лишь в том, что в идеальной жидкости, где нет диссипации энергии за счет работы сил внутреннего трения, такой вихрь не диффундирует в толщу всего объема жидкости и может сохраняться бесконечно долго, поддерживая указанное только что установившееся круговое движение частиц без притока энергии извне; в вязкой же жидкости для поддержания такого движения необходимо сообщение энергии извне от источника завихренности, например, от вращающегося в жидкости тонкого цилиндра.

Сущность рассматриваемой нами задачи как раз и заключается в рассмотрении того нестационарного процесса, который произойдет, если в некоторый момент времени t = 0 удалить источник завихренности.

Перепишем основное уравнение (45') в развернутом виде:

и, предполагая движение плоским и в силу симметрии круговым, опустим оба нелинейных члена (V • ?) Q и (Q • V) V, так как первый из них равен нулю как производная от завихренности по направлению скорости движения, т. е. вдоль окружности, на которой, в силу предположенной симметрии, завихренность одинакова, а второй равен нулю как производная от скорости в плоском движении по направлению вектора й, перпендикулярного плоскости движения. Обозначим проекцию вектора Q на перпендикуляр к плоскости движения через Q и перепишем основное уравнение задачи в виде:

2яг*'

Z=+(V • v)Q = (Q. V) V+vv*a

или в полярных координатах

(46) 5l6 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ жидкости И ГАЗА [гл. Vni

Это уравнение 2-го порядка в частных производных должно быть разрешено при начальном условии

при t= О и О, S = O

и граничном условии (t любое)

при г* оо, S = O.

Уравнение (46), которое может быть еще переписано в форме широко известного уравнения теории распространения тепла
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 231 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed