Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1 См., например, W. MfiUer, Elnfflhrung in der Theorie der zafaen FUis-Sigkeiten. Leipzig, 193? § 81] ВИХРЕВЫЕ линии B ИДЕАЛЬНОЙ и вязкой жидкости 503
Значительный практический интерес представляет рассмотрение вращательных движений цилиндра в цилиндре и сферы в сфере, когда малый зазор между ними заполнен вязкой жидкостью. Эти движения лежат в основе гидродинамической теории смазки подшипников, основоположником которой по праву считается знаменитый русский ученый и инженер Н. П. Петров. Рассмотрение этой теории, однако, представляет самостоятельный интерес и не может найти место в настоящем курсе.1
В заключение настоящего параграфа подчеркнем важный для дальнейшего факт. Вязкая жидкость оказывает движущемуся в ней поступательно, равномерно и прямолинейно шару сопротивление, следовательно, для продвижения шара в вязкой жидкости необходимо непрерывно совершать работу, которая идет на создание возмущений в покоящейся жидкости. В отличие от идеальной жидкости кинетическая энергия этих возмущений угасает, рассеивается, превращаясь, благодаря наличию сил внутреннего трения, в тепло. Вот почему при движении шара в вязкой жидкости уже не справедлив парадокс Даламбера.
Аналогичное явление имеет место и при равномерном и прямолинейном движении вязкой жидкости в цилиндрической трубе. Если бы жидкость была идеальна, то для поддержания равномерного и прямолинейного движения не надо было бы затрачивать энергии. При наличии вязкости необходимо непрерывно сообщать жидкости энергию в виде, например, перепада давления; эта энергия будет рассеиваться (диссипироваться) в жидкости, превращаясь в тепло. Подсчет количества диссипированной энергии при заданном движении вязкой жидкости будет приведен в одном из следующих параграфов.
§ 81. Вихревые линии в идеальной и вязкой жидкости. Сохраняемость вихревых линий при отсутствии внутреннего трения.
Диффузия вихря в вязкой жидкости
Ограничиваясь для простоты случаем несжимаемой жидкости, сравним между собою поведение вихревых линий B потоке идеальной и вязкой жидкостей. Вообразим, что в некоторый момент времени в движущейся жидкости существует вихревая линия (/, Г) (рис. 159), т. е. векторная линия вектора Q=rotV, и рассмотрим жидкую линию (//, II), образованную в момент t-\~dt теми же жидкими частицами, что и линия (1,1) в момент L
Если жидкая линия (II, II), представляющая новое положение вихревой линии (/, Г) к моменту времени t-\- dt, является также вихревой линией, т. е. векторной линией вектора-вихря ІУ, отличающегося от вектора Q на соответствующее индивидуальное изменение вектора-
1 Некоторое представление об этой теории можно получить, ознакомившись с § 27 части второй курса Кибеля, Кочина'иРозе, изд. 1948 г. 504
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
вихря за тот же промежуток времени, то будем говорить, что вихревая линия сохраняется, в противном случае — что она разрушается. Выясним, при каких условиях имеет место сохраняемость вихревых линий.
Докажем прежде всего теорему Гельмгольца: в движущейся под действием консервативных объемных сил идеальной несжимаемой
жидкости вихревые линии сохраняются.
Рассмотрим два смежных положения одной и той же жидкой линии (рис. 159): (/, I)— в момент времени t и (II, II) — в момент t dt; пусть (/, I) представляет вихревую линию, соответствующую вектору Q = rot V. Сравним между собою бесконечно малый „жидкий", т. е. состоящий из определенных частиц жидкости,
вектор MM1 и его перемещенное и де-
(д) формированное положение М'М[ (при бес-Рис. 159. конечно малых перемещениях жидкости
с точностью до малых высших порядков прямолинейные отрезки остаются прямолинейными). Имеем из векторного многоугольника MM1MiM :
MfM1 = MM14- ЩМЇ — MM',
или, замечая, чго по условию (X— произвольный бесконечно малый скаляр):
MM1 = XS, MMf = Vdt,
MiMi = (V -J- (Xfi . 7) Vi dt,
получим
MrMr1 = XQ + V dt - J- X (Q . V) V dt— V dt = X [S + (Q • V) V dt}.
Вспомним теперь указанное еще в гл. III уравнение (15) Гельмгольца-— Фридмана, которое в случае несжимаемой жидкости принимает упрощенную форму:
~ = (S-V)V. (44)
Тогда предыдущее равенство принимает вид: /? = X (Q + dt) « XQ i § 81] вихревые линии в идеальной и вязкой жидкости 505
что и доказывает теорему Гельмгольца, так как элемент жидкой линии (//, II) оказывается направленным по вектору Q', представляющему приращенный за время dt вектор 12.
Теорема о сохраняемости вихревых линий в идеальной жидкости была обобщена А. А. Фридманом на случай сжимаемого газа.1
Рассмотрим теперь ту же вихревую линию (/, I) в несжимаемой, но вязкой жидкости. Прежде всего выведем в случае вязкой несжимаемой жидкости уравнение, аналогичное уравнению Гельмгольца. Для этого, взяв основное динамическое уравнение (16') § 77 и предположив объемные силы потенциальными, произведем в левой его части известное уже нам по гл. HI преобразование:
(V-V) V = grad (-^-) +Q XV. Тогда.будем иметь уравнение:
-)-grad -f-Q X V =— grad II — ~-grad/>— vrotS,
которое после проведения над обеими его часгями операции rot даег: rot ^+ rot (QXV) = -V rot rots.
