Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
A I Xg ___у
а г аз —
2а ^ 2а-' Уа»
Найдем:
A = — Y a V00, ^ = -J c8Vooj
32* 566
Динамика вязкой жидкости и ґаЗА
[гл.' Viii
после чего окончательно получим: Vr = Vjl —4
[• -I-(тНКтГН-
(41-)
Выделяя из полученных выражений составляющие скорости на бесконечности: Vco cos би — Vco sin 0, получим составляющие „ скорости возмущения" шаром безграничной вязкой жидкости
qi^-Hr)']. *-ЧН+т(тЯ-
Подчеркнем, что, в отличие от обтекания шара идеальной жидкостью, где порядок этих скоростей возмущения (вспомнить § 64) был-L, в вязкой жидкости имеет место гораздо более сильное возмущение, убывающее при удалении от шара лишь как у.
Распределение завихренности определится по (37) в виде
2:
3 ., sin6 "2 «Voo
(370
Остается найти распределение давления в потоке и трение на поверхности шара, а затем и полное сопротивление шара. Из первого уравнения (34) имеем
grad р = — ц rot Й
или в сферических координатах:
др __ dr ~
? тш т(Q sin 9>=3Jiav- 5T^ <
1 dp 1 д г г>ч 3 х, sin 0
Tae^ = - 2 ^vto-р.
Эта система уравнений в полных дифференциалах легко интегрируется и дает искомое выражение р
3 жг cosfj р =^V-aVoo-S--
или, составляя по предыдущему коэффициент давления
3;j. cos 6 6 cos в
Rri
- P-Po
P
4" P Vl3
!-VoaO (г/а)2 '
{г IaY'
(42)
(42')
где под R00 подразумевается характерное для обтекания шара число Рейнольдса (d = 2a — диаметр шара):
P ^ Vcod
а V
Ra ОБТЕКАНИЕ ШАРА И ФОРМУЛА CTOKCA
501
Отметим некоторые характерные отличия обтекания шара вязкой жидкостью от обтекания его идеальной жидкостью: 1) в идеальной жидкости коэффициент давления зависит только от относительного положения точки, в которой давление определяется, и не зависит от величины тела, скорости и плотности жидкости; в вязкой жидкости коэффициент давления является функцией числа Рейнольдса обтекания, т. е. зависит от размера тела, от скорости, плотности и вязкости жидкости, 2) распределение давления по поверхности шара, согласно (42), не симметрично относительно миделевой плоскости, так что главный вектор сил давления при обтекании шара вязкой жидкостью отличен от нуля.
Касательная составляющая напряжения трения на поверхности шара ргЬ будет равна
(dVb , 1 &Vr FA ZdFeN 3 Fco .
Pr* = H-ST ¦+ 7 Ж ¦—т)г_ = г Ыиа = - 2 ^ Sln е-
Взяв на поверхности шара поясок (на рис. 158 показанный, штриховкой) с площадью Iita sin 6 - a db = 2таг2 sin 9 db, умножим на эту площадь напряжение трения ргЬ и давление р\ полученные таким образом элементарные силы спроектируем на ось Ox и просуммируем по всей поверхности шара (от 6 = 0 до 6 = it). Тогда получим силу сопротивления Wic в виде it
Wx = J (— ргЧ sin 6—р cos 6) . 2кй2 Sin 6 db =
О E
= SitjiaV00 f sin 0 db = 6wjia V00. (43)
о
Это — известная формула Стокса.
Получив искомое решение, оценим порядок откинутого нелинейного члена р (V • V) V по сравнению с сохраненными членами справа, в частности с членом ji rot fi, так как grad р равен ему по величине. Имеем (—знак пропорциональности)
Pl(V-V)VI P Vlfi ? Vla2 I* I rotQ I я.цо AijiFcci ^ot5'
причем коэффициент пропорциональности представляет некоторую функцию безразмерных величин г/а и 6.
Из приведенного соотношения видно, что роль нелинейного члена— конвективного ускорения — тем меньше, чем меньше число Рейнольдса обтекания.
Полученное решение оказывается пригодным лишь для достаточно малых чисел Rco. Количественная стррона этого вопроса будет сейчас выяснена. 502
Ігінамика вязкой жидкости и газа
[гл. Vtlt
Заметим, что только что приведенное рассуждение применимо и для любых других движений. Можно вообще утверждать, что число 1? служит мерой сравнительной роли инерционных и вязкостных членов в уравнениях движения. Чем меньше число R, тем больше роль сил вязкости в рассматриваемом движении.
Переходя в формуле (43) от силы сопротивления к коэффициенту сопротивления сх, будем иметь:
- JL- 6к!ла1/»__2L (A^
Vijj ¦" " .j ' ............ ——" .......... -1'1" 1 0 * ^"O J
J рК,'pv^sta*
Более точная теория Озеена — Гольдштейна дает вместо (43') разложение в ряд по степеням малого параметра Ra3
Са,=; 1^(1+"ж rco^TSor"+ •••)¦
Сохраняя первый член ряда, получим решение Стокса; два члена дают формулу Озеена
^=1:(1+-^)- <43'">
Чтобы дать представление о порядке совпадения этих теоретических формул с опытными данными и, вместе с тем, чтобы выяснить диапазон значений числа R00, для которого допустимо пользование формулами (43й) и (43'"), приводим табл. 13.
Таблица 13
Roo с®
Стоке Озеен опыт
0,0531 451,2 456,5 475,6
0/2437 98,5 103,1 109,6
0,7277 32,98 38,23 38,82
1,493 16,07 22,32 19,40
Из этой таблицы видно, что формулу Стокса можно применять только в случае очень малых значений чисел Рейнольдса (Rco <d 1) (пыль в воздухе, мелкие шарики в масле и др.).
В настоящее время хорошо изучены стационарное и нестационарное движения шара, эллипсоида и других тел как в неограниченной, так и в ограниченной жидкости, а также вращательные их движения при малых значениях числа Рейнольдса.1
