Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
р (V • V) V = — grad р —- a rot й. где ІІ, как и ранее, обозначает вектор вихря:
" Q = rot V.
Интегрирование этого уравнения в его общем виде даже для случая обтекания шара представляет непреодолимые затруднения из-за наличия в нем нелинейных членов — конвективного ускорения в левой части.
Значительно суживая область применения решения, поступим так. Откинем нелинейные члены в левой части уравнения, решим совокупность линеаризированного таким образом уравнения с линейным уравнением несжимаемости:
O = grad р +Jirotfi, div V== 0, (34)
а затем, чтобы выяснить область применимости решения, оценим порядок откинутых нелинейных членов. Такой не строгий прием позволяет значительно упростить решение рассматриваемой классической задачи Стокса об обтекании шара.
Исключим из первого уравнения рассматриваемой системы (34) давление р, для чего возьмем от обеих частей уравнения операцию rot; будем имеїь:
rot rot Q = O. (35)
Рис. 158.
стационарным. Основное дифференциальное § 80] обтекание Шара И формула стокса 497
Заметим, что, в силу осевой симметрии обтекания, вихревые линии представляют окружности в плоскостях, перпендикулярных оси Ох, с центрами на этой оси. Вводя сферическую систему координат (г, е, 6), заключим о наличии у вектора вихря лишь одной составляющей Se, которую для краткости обозначим просто Q, включая в это обозначение знак zt; составляющие Qr и Qe, очевидно, равны нулю, так как вихрь вектора направлен по касательной к вихревой линии. В силу той же симметрии имеем:
-J = O, S = S (г, 0).
Вспоминая помещенные в конце § 60 выражения компонент вихря вектора в сферической системе координат, будем иметь:
rot, Q=-Lf-^(SsinO), TOt6Q=-Lig?), rote Q = 0,
и, повторяя ту же операцию:
rotr(rotQ) = 0, rot0(rotQ) = 0, rote (rot Q) =i^(rroteQ)-L^(rotrQ) =
ІдГ 1 д(гй)1 1 d f 1 д /п . АЛ
= 7 Tr L-¦г ¦ 7-W- J~T м [ 7ШТ т <ss,n6> J =
1 дЦґ->) 1 г) [ 1 д /г. . „Л
=-TSfi--7*М [staf Ш sln 0)J •
Таким образом, уравнение (35), если обе его части спроектировать на оси сферической системы координат, сведется к одному уравнению:
решение которого Q (г, в) можно пока подчинить лишь одному граничному условию:
S —> 0 при г —>- со. (36')
Разыскивая решение уравнения (36) в виде произведения двух функций R (г) и 0(0), каждая из которых зависит лишь от одной переменной, и подставляя значение
Q = R (г) 0(6)
в уравнение (36), получим:
IrRir)] —[в(0)зіпб]}.
В силу назависимости координат гиб, левая и правая части этого равенства должны быть порознь постоянными; отсюда следует
32 Зак. 1841. Л. Г. Лонцянекий. 498 динамика вязкой жидкости й гайа [гл. Virt
(а—произвольная постоянная):
Г d2H (Г)] = а,
R(r)dr*
ё{в>я{ ^ ^ Гв (Є) sin в]} = —а.
Используя произвол в выборе постоянной, подберем ее так, чтобы второе из только что полученных уравнений имело по самому смыслу задачи периодическое решение. Заметим, что при а = 2 уравнение имеет очевидное решение:
в (6) = slno,
а первое уравнение системы превращается в
? [rtf(r)]=fR (г);
легко видеть, что единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию обращения в нуль при г -*¦ оо, будет co^s* . Обозначая константу через А, получим искомое решение для вихря Q в виде:
в-^. (37)
Обращаясь теперь к задаче разыскания сферических составляющих скорости Vr и V9 (составляющая V, = 0, в силу симметрии обтекания), имеем для их определения два уравнения: 1) уравнение (37), которое, пользуясь выражением вихря скорости Q через составляющие скорости в сферических координатах Vr и Vtt можно переписать в форме:
1 д(гУв) I dVr A sin 6 г дг г дв = г2 ' Iao'
и 2) уравнение несжимаемости в сферических координатах (при Ve = 0): J_ д (г2 Vr) ,__1 с» (Ke sin 6) __
г2 дг /-sin 6 дв ~~ - Ioaj
Систему уравнений (38) и (39) надо решить при граничных условиях:
при г = a, Vr — 0, V8 = O, При Г =CO, Vr = VooCOS0, V8=S- V00Sin
Принимая во внимание эти граничные условия, будем искать решения в форме:
"і " х'
Vr = (Vco+^gcosfi, Ve = ^V00+ J] тЙ5Іпв' (41)
ft-і л-1
in 6. } <40> § 80) ОБТЕКАНИЙ ШАРА Й ФОРМУЛА СТОКСА 4§§
где число п считаем неопределенным. Подставляя выражения (41) в уравнения (38) и (39) и приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим:
2 14 + (1 -А) >4] г1-*= А,
Kt=I »
2 [(2-?)X*+2Xftlrl-ft = 0.
В силу произвольности величины г будем иметь при A=I: X1 = А, Х,-|-2ХІ = 0,
1I 1A
Al = — у A1 = —"2
а при Л> 1:
Xft + (1— k)Xk = 0, I
(2 — k) Xft 2Xft = 0. J
Последняя однородная система имеет решения, отличные от нуля, только при равенстве нулю определителя системы
2 — (1 — /fe) (2 — к) = 0.
Корни этого уравнения: A = O и к = St причем первый отбрасывается, так как к > 1. Отсюда следует равенство
Xs
все остальные Xft и Xft тождественно равны нулю.
Возвращаясь теперь к (41), составляем общие выражения скоростей:
Vees (-V00-^.+^stae,
подчиняя которые граничным условиям (40), получим следующие два уравнения для определения коэффициентов А и X8:
