Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В силу равномерности и осесимметричности движения можно составить простое условие равновесия столба жидкости (рис. 157) в трубе иод действием движущего перепада давления Ар, приложенного к сечению трубы с площадью тta2,
и сопротивления трения на Zw- 2т I
стенке, равного произведе-
нию напряжения трения Xw (р+йр)лаP лаг
на боковую поверхность 2тta • I участка I трубы:
Др • iJta2 == 2тml • ію. Отсюда следует, что между Рис. 157.
движущим перепадом и напряжением трения существует простое соотношение
= 4г V (31')
Xvi-Zna I
Рис. 157.
которое можно сформулировать так: напряжение трения на поверхности круглой цилиндрической трубы равно перепаду давления на участке длиной в половину радиуса.
Формулы (29) на основании (31') дают следующие выражения напряжения трения:
А 2 ) tzW=-O- Р®»ср,
, (32)
Ф а I rlW=-J- . j
Для дальнейшего важно отметить, что формулы (29) и (32), так же как и соотношение (31'), являются общими формулами движения ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ жидкости и ГАЗА
fr.'I. VIlI
в круглой цилиндрической трубе, справедливыми не только для ламинарного, но и для так называемого „турбулентного" движения, о котором будет речь впереди; формулы же сопротивления (30) верны только для ламинарного режима. Подставляя значения к и ф из (30) в (32), получим:
4[IWcp >
а
cAl-Wra
[ (32')
а
Эти же результаты получим, вычисляя t,w по формулам (31), (24"), (27') и (27").
В случае трубы эллиптического сечения напряжение трения на стенке меняется по периметру сечения, так как поток не симметричен. Интересно отметить, что среднее значение напряжения трения по периметру эллипса меньше, чем напряжение трения в круглой грубе той же площади сечения. Аналогичный результат имеет место и по отношению к объемному расходу: при том же перепаде давления расход сквозь трубу эллиптического сечения меньше, чем через равновеликое ему по площади сечение круглой трубы.
Распределение скоростей по сечению круглой цилиндрической трубы (24") можно получить и иначе. Составим вместо (23) уравнение движения в полярных координатах г , є. Для этого выразим лапласиан в полярных координатах и опустим, в силу осесимметрич-ности движения, члены с производными по углу є. Тогда получим в качестве основного уравнения:
J-JLfr- mi
ґ* dr*\ dr* ) A?' ^
Интегрируя, найдем общее решение
w = _ r*2 + C1 In г* -L C2. (330
Из условия ограниченности скорости на оси трубы при г"- = 0 следует, что C1 = 0; вторая постоянная найдется из условия
w — 0 при г* —а,
чю приведет к полученной ранее „параболе скоростей" (24"). Решение (330 представляет преимущество по сравнению с ранее приведенным. Так, например, пользуясь равенством (33'), легко получить распределение скоростей в кольцеобразной области между двумя соосньши круглыми цилиндрами радиусов а и h > п. Подчиняя решение (33') граничным условиям:
w = 0 при г*— а и г = />, * 741
ламинарное движение ло трубй
495
получим эпюру скоростей Ap
W-
In
4{Л/ Г" ' 1 1п(6/я) а іакже формулы расхода и средней скорости:
, (62-„2)2
т-
Q
Ap
ср
8 у.1
I48+'
In (bja)
In (ft/a) J'
Задача о ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую труб} произвольного сечения не представляет принципиальных затруднении Дело сводится к решению уравнения Пуассона (23) с постоянным свободным чченом. Зная частное решение уравнения (23) w = да, и заменяя w на сумму w - Щ), сведем сравнение (23) к плоскому у равнению Лапласа, для решения которою можно применять метод комиTckchoi о переменного и чи другие приемы
Приведем без доказательства заимствованные из теории кручення призматических стержней прямоугольного сечения формулы скоростей и расхода в чаминарном движении несжимаемой вязкой жидкости сквозь призматическую тр}бу прямоугольного сечения ( а х а, —b ^Zy b, а > Ь).
W :
16 bS I Т.у
cos
TC3 \ 2 Ь
Ch
их
2Г
ch-
Зжх
1 Зку с
WcosIF--^ + -
2b
ch-
Зка
W
Д/?. аЫ Г 16 10246 Л.
ъа
W
3- 2b
Среднюю по сечению скорость можно определить формулой
Ap -V-
Wn
16u I
JL. f (JL)
где функция
.Ґа\ 16 1024 b /, я a . Iu Зха , \
fKrr--r(thl»+STthIT + -"]
имеет следующие значения:
alb 1 2 3 5 Ю 12 100 со
2,253 3,661 4,203 4,665 »,000 5,059 5,299 5,333
Простые формулы получаются для призматической трубы с сечением в виде равностороннего треугольника и др. 496
динамика вязкой жидкости и газа
[гл. viii
§ 80. Обтекание шара при очень малых значениях числа Рейиольдса. Формула сопротивления шара по Стоксу и ее обобщения
Чтобы показать значительную математическую сложность решения задач внешнего обтекания тел вязкой жидкостью, обратимся к рассмотрению простейшего примера — обтекания шара.
Поместим центр шара радиуса а в начало координат (рис. 158) и рассмотрим обтекание шара однородным потоком со скоростью V00, параллельной оси Ox и направленной в положительную сторону оси.
Пренебрежем влиянием объемных сил и будем считать движение уравнение (16') § 77 можно при этих условиях переписать в виде:
