Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Установлением условий подобия, как строгих, гак и приближенных (не все условия подобия на самом деле одинаково важны), занимается специальная теория подобия, которая в последнее время, в связи с развитием экспериментальных исследований, получила большое распространение. 1
§ 79. Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубе
Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой жидкости является іак называемое ламинарное (слоисгое) движение по цилиндрической ірубе произвольного сечения, при ко юром линии тока — прямые линии, параллельные оси ірубьі.
Как показываю] опыты, такое движение осущеивляеіся в цилиндрических і рубах с различными формами сечений, если юлько число Рейнольдса не превосходит некоторого определенного „кришческого" своего значения, после чего движение перестает быть ламинарным, частицы жидкости приобретают сложные траектории, и приводимое в настоящем параграфе решение теряет свою силу. Практически излагаемые сейчас результаты имеют значение лишь при движениях с очень
1 Литература по теории подобия и моделирования в разных областях механики весьма обширна. Удовольствуемся рекомендацией книги Л. И. Седова, ,Методы теории размерностей и теории подобия в механике", Гос-техиздат, 1944. Изложение гидроаэродинамической теории подобия можно найти в нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя", Гостехиздат, 1941, стр. 37. 4««
ДИНАМИ к \ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГЛЗ\
[гл. VIH
малыми скоростями, или в гонких капиллярах, или, наконец, при движении очень вязких жидкостей. Полробнее об условиях сущесіво-вания ламинарного режима течения и явлений перехода его в более
сложный, турбулентный
будет
сказано
режим далее.
Направим (рис. 156) ось Oz но оси трубы и будем предполагать трубу бесконечно длинной, а по ток — направленным вдоль оси грубы, так чго из грех компонент скорости (и, V, w) остается лишь одна w, а остальные две равны нулю Отвлекаясь от температурных влияний, т. е. считая поток изотермическим, а следовательно, шютносіь P и коэффициент вязкосіи jj.— постоянными, будем иметь, согласно (14) и уравнению неразрывности, систему уравнений
Рис. 156.
0:
і. dIL
'j дх '
w
P ду'
dw__ I dp і
dz p dz ^t
dw
Tz
:0.
(d'ha , dhv p dhu \ '1 дх* і ду* г~дЖ;'
Hd эюи сисіемьі сразу следует, чю w представляв] функцию юлько jc и у, а р — функцию только z. Иными словами, если провести нормальные к оси трубы сечения, то во всех таких сечениях распределения скоростей одинаковы, а поля давлений однородны, давление меняется только от сечения к сечению, сохраняя повсюду в данном сечении одинаковое значение.
Предыдущая система равенств сводшся к одному:
Zd2w , iPw \_dp
fiU*2 dz'
(22)
Левая часть этого равенства представляє і функцию только от х я у, правая — только oi Z) при независимости координат друг от друга эю может быть лишь в случае посюянства левой и правой частей равенства. § 79} ламинарное движение ho грубе
489
Введем удобное для дальнейшего обозначение:
U = Const=-^f, (220
где Ap—-падение давления на участке грубы длины /.
При равномерном движении вязкой жидкости по цилиндрической ірубе перепад давления Др играет роль движущего перепада, уравновешиваемого силами сопротивлений трения, направленными против движения жидкости. Отсюда непосредственно вытекает, что давление в цилиндрической трубе должно падать вниз по течению, а следовательно, Ap > 0. Для трубы переменного сечения, где движение может быть как ускоренным, так и замедленным, такое заключение наперед сделать нельзя.
В конкретных расчетах перепад давления Ap на участке трубы длины I либо задается непосредственно, либо, как далее будет показано, может быть легко выражен через другие заданные величины: секундный расход жидкости сквозь трубу, среднюю по сечению или максимальную скорость.
Уравнение (22) сводится к линейному уравнению в частных производных второго порядка в плоскости хОу:
„о d2w ¦ дЧ> Ap
которое должно бьнь решено при следующем граничном условии на контуре С нормального к оси сечения цилиндра:
W = O на С. (23')
Поставленная задача с математической стороны совершенно аналогична известной задаче теории упругости о кручении призматического стержня и легко решается для простейших контуров сечения грубы.
Если сечение трубы представляет элчипс с полуосями а и Ь, уравнение которого в плоскости хОу будет
if .Uf-I
10 решение уравнения (23) можно представить в форме:
^1-P-=P-)' (24)
причем постоянная А определяется из условия удовлетворения этого выражения уравнению (23):
и будет равна
W ¦
(«2+ fts) ,,/
аЧ2
2о/ ' «24-62 490 динамика вязкой жидкости и газа [гл. VlH
Таким образом, получим эпюру скоростей в любом сечении эллиптической трубы:
Дг; am
tIO) .—---— • -
2\>-l
Граничное условие (23') при этом, очевидно, удовлетворяв і ся. Заметим, что изотахами служат подобные контуру С (не софокусные) эллипсы.
В случае круглой цилиндрической грубы радиуса а будем вместо (24') иметь, полагая Ь = а и г' =|/xa-f-_y2:
